Imaginära enheten

Tycker du att det är konstigt att $\sqrt4=2$, inte $\pm2$?

Smaragdalena skrev:

Tycker du att det är konstigt att $\sqrt4=2$, inte $\pm2$?

Ja, det tycker jag, men enligt vad jag lärt mig tidigare har man definierat roten ur som en funktion, med enbart positiva värden. Jag vet inte varför dock.

Rekommenderar denna tråd:

https://math.stackexchange.com/questions/1097134/why-is-sqrt-1-i-and-not-pm-i

Zeus,

Ekvationen x² = 4 har två rötter, x = +2 och x = –2.

Vi har bestämt att roten ur 4 är +2.

Vi kunde ha bestämt att roten ur 4 är –2. Det hade blivit opraktiskt, men världen skulle inte ha gått under för det. 

På samma sätt har x² = –4 två rötter, x = 2i och x = –2i.

Här är det litet lurigare, för varken 2i eller –2i är positivt; det är inte lika självklart att bestämma just 2i som roten ur –4. Tänk dig följande:

Vad är roten ur –i ?

Du får två värden [(–1 + i)/(roten ur 2)] och [(+1 –i)/(roten ur 2)]. Här känns det inte alls självklart vilket av de två värdena som ska ha företräde. Är –1+i ”finare” än +1–i ?

Därför tycker jag man ska vara litet försiktig med att säga att ”roten ur minus ett är i”. 

Vanligen (i skolan) möter man ”i” i andragradare, x² – 4x + 13 = 0, vi får

x = 2 ± 3i och det spelar ingen roll om roten ur –9 är plus eller minus 3i, svaret blir samma hursom.

Jag förstår inte varför det är så svårt att få ett rakt svar på min fråga.

Detta är det enda jag vill förstå:

Alla vet att om a² = b så får man att a = ± sqrt(b).

Så om i² = -1, varför får man inte då i = ± sqrt(-1)? Tydligen är endast i = sqrt(-1) korrekt.

Jag försökte reda ut det, men det blev kanske ett krokigt svar på en rak fråga.

Vi säger att x² = –1 har lösningen x = ± sqr(–1)

Vi kan också skriva x = ± i

Så långt är vi nog överens.

Om vi nu betraktar det komplexa talplanet, på vertikala axeln har vi i tur och ordning –2i, –i, 0, i, 2i, …, vi brukar låta riktning uppåt beteckna växande på vertikala axeln.

Så talet i är den imaginära enheten. Av någon anledning har man (?) valt att utnämna i till sqr(–1). 

Man skulle kunnat välja tvärtom, man kunde ha dubbat –3 till sqr9 och –i som sqr(–1). Men man har valt att låta +3 vara sqr9 och att låta i vara sqr(–1). 

När det gäller reella tal är det såklart mer praktiskt. Arean av en kvadrat är 9, vad är sidan? Det vore klumpigt att säga att sidan är –sqr9, i nästan alla situationer vill man ha positiva roten (om man inte vill ha bägge).

Men man ser sällan uttryck av formen sqr(3+5i). Då handlar det oftast om 

Lös ekv z² = 3+5i , och bägge rötterna är lika intressanta.

Så svaret på din fråga är troligen att man bestämt att sqr(–1) = +i för att det visat sig vara mer praktiskt.

https://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_unit

Intressant, skrolla ned till ”i vs –i”.

Definition:

The imaginary number i is defined solely by the property that its square is −1:

…

With i defined this way, it follows directly from algebra that i and are both square roots of −1.

För att sammanfatta:

sqrt(4) = 2 och inte -2, därför att man har bestämt så. Det visar sig ge bra egenskaper i beräkningar.

sqrt(i) är inte definierat. i*i är -1 och (-i)*(-i) är -1. Det visar sig också ge bra egenskaper i beräkningar.

Ett enkelt exempel är att sqrt(a*b) = sqrt(a) * sqrt(b), men  sqrt(1) = sqrt((-1)*(-1)) får absolut INTE bli sqrt(1) = i * i.

Bubo skrev:

…

sqrt(i) är inte definierat. 

…

Du menar såklart sqr (–1) är inte def.

”sqrt(1) = sqrt((-1)*(-1)) får absolut INTE bli sqrt(1) = i * i.”

Good point!