Imaginära enheten

i² = -1. Man kan skriva i =$\sqrt{-1}$. Men de "vanliga" reglerna gäller inte då dett ju blir fel:  -1 = i*i = $\sqrt{-1}$*$\sqrt{-1}$= $\sqrt{-1*-1}$= $\sqrt{1}$=1.

Zeus skrev:

Hej,

Den imaginära enheten är definierad så att i² = sqrt(-1).

Nej, i² = -1.

Borde inte då i = ± sqrt(-1) ?

Nej, lika lite som $\sqrt4=\pm2$. "Vanliga" (kvadrat-)roten ur är "det positiva tal som ...".

Men i min bok står det så här: i² = sqrt(-1)  ⇒  i = sqrt(-1)

Då står det fel i det första ledet i din bok. Det skall inte vara något "sqrt" där.

Som Smaragdalena säger så är definitionen i din första rad inte rätt. Den ska vara i² =-1 utan något rotmärke.  Det finns det inget reellt tal som löser den ekvationen, men om det hade funnits ett sådant tal, så skulle din andra rad vara helt korrekt. I skälva verket är i = talparet (0,1) . Man har skapat vissa räkneregler för sådana talpar och det är dessa regler som bl a gör att (0,1)*(0,1)=(-1,0) där det sistnämnda identifieras med -1. Tänk bort all mystik kring objektet i. Det fantastiska är inte detta, utan att man kan visa att de vanliga räknereglerna gäller för talpar dvs t ex:

ab=ba (kommutativitet)

a(b+c)=ab+ac (distributivitet)

att paret (0,0) fungerar som nolla

att paret (1.1)  funkar som etta  och

att ekvationen ax=1 alltid har en lösning förutsatt att a inte är talparet (0,0). (dvs division med 0 är förbjudet).

Rättelse: Som ”etta” står paret (1,1) Ska vara (1,0).

Smaragdalena skrev:

Zeus skrev:

Hej,

Den imaginära enheten är definierad så att i² = sqrt(-1).

Nej, i² = -1.

Borde inte då i = ± sqrt(-1) ?

Nej, lika lite som $\sqrt4=\pm2$. "Vanliga" (kvadrat-)roten ur är "det positiva tal som ...".

Men i min bok står det så här: i² = sqrt(-1)  ⇒  i = sqrt(-1)

Då står det fel i det första ledet i din bok. Det skall inte vara något "sqrt" där.

Roten ur 4 är väl visst ±2 matematiskt sett? Att kvadraten betraktas som positiv är bara en konvention så att kvadratrötter kan representera funktioner.

Roten ur 4 är väl visst ±2 matematiskt sett? Att kvadraten betraktas som positiv är bara en konvention så att kvadratrötter kan representera funktioner.

Nej, roten ur 4 är 2. Däremot har ekvationen x² = 4 två rötter, x = 2 och x = -2. Och ekvationen x2 = 5 har rötterna $x=\pm\sqrt5$. Om roten ur 5 hade haft två värden, skulle man inte ha behövt skriva $\pm$ (och väldigt mycket av matematiken skulle bli förfärligt mycket krångligare).

Smaragdalena skrev:

Roten ur 4 är väl visst ±2 matematiskt sett? Att kvadraten betraktas som positiv är bara en konvention så att kvadratrötter kan representera funktioner.

Nej, roten ur 4 är 2. Däremot har ekvationen x² = 4 två rötter, x = 2 och x = -2. Och ekvationen x2 = 5 har rötterna $x=\pm\sqrt5$. Om roten ur 5 hade haft två värden, skulle man inte ha behövt skriva $\pm$ (och väldigt mycket av matematiken skulle bli förfärligt mycket krångligare).

Okej, men i² = –1 är också en ekvation som borde ha två rötter kan man tycka?

Okej, men i² = –1 är också en ekvation som borde ha två rötter kan man tycka?

Javisst, ekvationen i² = -1 har två rötter, x = i och x = -i. Kontrollräkna!

Smaragdalena skrev:

Okej, men i² = –1 är också en ekvation som borde ha två rötter kan man tycka?

Javisst, ekvationen i² = -1 har två rötter, x = i och x = -i. Kontrollräkna!

Men då borde ju det som jag skrev i början stämma, att i = ±sqrt(-1)

Men då borde ju det som jag skrev i början stämma, att i = ±sqrt(-1)

Nej. Då skulle du få två punkter i det komplexa talplanet, och två olika argument för i. Detta stämmer lika lite som att $\sqrt4=\pm2$.