Ideala Gaslagen

Volymen borde också påverkas, men det verkar lite komplicerat att mäta volymen för luftmassor som inte har några bestämda gränser!

Ideala gaslagen gäller egentligen bara om 1) volymen av själva molekylerna är så liten så att den kan försummas och 2) att krafterna mellan olika molekyler är så små att de kan försummas. Detta gäller i stort sett om trycket är lågt och temperaturen en bra bit ovanför gasens kokpunkt. Detta borde gälla för det mesta i atmosfären (tror jag). Men moln är ju inte bara gas, och det kan finnas stoftpartiklar i atmosfären, och de är inte heller gaser.

Jo nu när jag tänker på det borde volymen påverkas.

Man kan använda ideala gasen för att modellera "ideala atmosfärer" men inte den verkliga atmosfären, detta huvudsakligen till följd av att ideala gaslagen gäller för gasvolymer med väldefinierade gränser och med jämn temperaturfördelning (inte varmare i ena änden). Atmosfären på jorden tillfredställer inte dessa kriterier och även om man kan ta ett litet block atmosfär inuti säg ett rum och applicera gaslagen på den med bra resultat så kan vi inte röra oss utanför detta rum.

Det sagt kan man fortfarande använda ideala gaslagen för att studera "ideala atmosfärer" och lustiga teoretiska scenarier. Låt mig måla ett sådant scenarie:

Låt oss tänka oss ett underligt universum som består av ett oändligt plan (en platt  yta) ovanför vilket svävar en atmosfär med oändlig utbredning uppått. Denna atmosfär har legat stilla så pass länge att inga temperaturvariationer existerar inom den. Vår inuition säger oss att denna atmosfär borde vara tätare nära marken och tunnas ut ju högre upp man kommer men hur ser denna variation ut? Det man skulle vilja veta är hur trycket p beror av höjden över marken; en funktion p(h). 

För detta se ideala gaslagen.

Error converting from LaTeX to MathML

Nu har vi ingen volym här men en atmosfär har fortfarande densitet och densitetdata finns inplicit imkodat i ideala gaslagen. Densiteten för en gas/kropp är ju ρ=M/V \rho = M / V där M är totalmassan för volymen. M är i sin tur summan av partiklarnas massor. Låt oss säga att molekylerna har en medelmassa på m0 m_0 . Då är totalmassan M=m0N M = m_0 N . Men N och V förekommer i 

$$p = $\frac{kNT}{V} = \frac{N}{V}kT = \frac{1}{m_0}\frac{m_0 N}{V}kT = \frac{1}{m_0} \rho k T$

Även om denna relation inte häller för atmosfären som helhet så gäller den lokalt för små gasvolymer inuti atmosfären så vi kan göra denna relation sann genom att säga att den gäller på en viss höjd h h och får en funktionsrelation.

$p(h)= \frac{1}{m_0} \rho(h) k T$ (1)

Att motivera detta strikt är inte så svårt men tar ganska lång tid så hoppar över det. Okej! Vad hjälper det här? Till synes har vi inte gjort så mycket men poängen här är att vi har en relation mellan tryck, densitet och höjd vilket vi kan utnyttja eftersom det i slutändan är vikten hos gasen här som måste balanseras mot trycket. I en sluten behållare är det behållarens väggar som hindrar gasen från att expandera ytterligare men här är det gravitationen som håller kvar gasen vid ytan. 

Tänk oss att vi befinner oss på en viss höjd $h$ med ett tryck $p(h)$ och rör oss uppåt ytterligare $dh$. Trycket måste då minska eftersom det är mindre massa ovanför oss då en del massa nu hamnat under oss istället och inte längre tynger på oss. Skillnaden i tryck om man ställer upp det visar sig vara

Error converting from LaTeX to MathML

Men varför inte utrycka detta som en derivata.

Error converting from LaTeX to MathML 

Men vi kan nu injicera detta uttyck tillbaka in ideala gaslagsuttrycket (1) och få

$p(h) = \frac{1}{g m_0} k T p'(h)$

Detta är en nu en differentialekvation för trycket p(h) som man kan lösa och man får ut:

$p(h) = p_0 e^{-g m_0 h/kT}$

där $p_0$ representerar statiska trycket vid jordytan. Huh, tydligen så minskar trycket som en exponentialfunktion och det minskar snabbare ju högre temperaturen är. 

Dessa slutsatser visar sig tillochmed vara giltiga även på jorden och i verkligenheten så länge man befinner sig inom några kilometer från jordytan. Vill du jämföra statiska lufttrycket mellan basen av kaknestornet och observationsdecket skulle du finna att trycket däruppe är drygt 2% lägre än vid basen. Typ iaf.

Okej sidan raderar min LaTeXkod med felmeddelandet "Error converting from LaTeX to MathML" utan att ge tilbaka den så att jag kan fixa den. Suck. 

Se: https://en.wikipedia.org/wiki/Barometric_formula för vidare diskussion och formler. 

 Tack, får kolla lite djupare.