icke reell rot (Matematik/Matte 4)

Att en rot z är icke-reell innebär att Im z $\neq$ 0.

Börja då med att skriva om ekvationen på formen z¹⁰ = 1 och uttryck sedan högerledet som ett komplext tal på polär form.

Yngve skrev:
Att en rot z är icke-reell innebär att Im z $\neq$ 0.

Du kan utnyttja de Moivres formel här.

Börja då med att skriva om ekvationen på formen z¹⁰ = 1 och uttryck sedan högerledet som ett komplext tal på polär form.

Ja juste,

fick att $z^{10} = r^{10} (\cos 10 v + i \sin 10 v) = 1$

Och då tänkte jag att om den imaginära delen inte ska bli noll kan jag skriva cos10v+sin10v=1 eller?

Erika.22 skrev:

Och då tänkte jag att om den imaginära delen inte ska bli noll kan jag skriva cos10v+sin10v=1 eller?

Nej det stämmer inte.

Uttryck högerledet (dvs talet 1) som ett komplext tal på polär form.

Då kan du bestämma både r och v.

Fundera sedan på vilka värden på v som gör att z är icke-reell.

Yngve skrev:
Erika.22 skrev:

Och då tänkte jag att om den imaginära delen inte ska bli noll kan jag skriva cos10v+sin10v=1 eller?

Nej det stämmer inte.

Uttryck högerledet (dvs talet 1) som ett komplext tal på polär form.

Då kan du bestämma både r och v.

Fundera sedan på vilka värden på v som gör att z är icke-reell.

menar du att HL blir : 1(cosv+isinv), för annars vet jag inte riktigt hur jag ska skriva 1 i polär form

Erika.22 skrev:

menar du att HL blir : 1(cosv+isinv), för annars vet jag inte riktigt hur jag ska skriva 1 i polär form

Nej inte så.

Markera talet 1 (dvs talet 1+0•i) i det komplexa talplanet.

Vilket belopp har det talet? Vilket argument (vinkel)?

Yngve skrev:
Erika.22 skrev:

menar du att HL blir : 1(cosv+isinv), för annars vet jag inte riktigt hur jag ska skriva 1 i polär form

Nej inte så.

Markera talet 1 (dvs talet 1+0•i) i det komplexa talplanet.

Vilket belopp har det talet? Vilket argument (vinkel)?

Menar du såhär?

Nej du har med pilen markerat det imaginära talet i (dvs talet 0+i), inte talet 1 (dvs 1+0•i).

Men du har räknat som om du markerade talet 1.

Däremot har du fått fel vinklar, det ska bara vara 0, inte pi.

Vinkeln pi pekar ut tal med negativ realdel i det komplexa talplanet.

Erika.22 skrev:
Yngve skrev:
Erika.22 skrev:

menar du att HL blir : 1(cosv+isinv), för annars vet jag inte riktigt hur jag ska skriva 1 i polär form

Nej inte så.

Markera talet 1 (dvs talet 1+0•i) i det komplexa talplanet.

Vilket belopp har det talet? Vilket argument (vinkel)?

Menar du såhär?

Nej, nu har du först markerat talet "i" i det komplexa talplanet, och sedan räöknat ut argumentet för talet -1+0i, d v s -1.

Talet 1 (= 1+0i) ligger på den reella axeln. Vilket argument har talet 1?

Nu tror jag att jag har märkt rätt, men förstår inte hur har jag räknat fel på vinkeln, tanv=y/x och vår y är ju 0 och x är ju 1, och varför ska det bara vara 0 och inte pi?

Erika.22 skrev:
Nu tror jag att jag har märkt rätt, men förstår inte hur har jag räknat fel på vinkeln, tanv=y/x och vår y är ju 0 och x är ju 1, och varför ska det bara vara 0 och inte pi?

Ja en av de två punkterna stämmer.

Om vinklarna:

Är du med på vad r och v avser när vi skriver ett komplext tal på polär form?

Om nej, läs då t.ex. detta avsnitt.

Om ja:

Vilket tal är cos(0) + i•sin(0)?
Vilket tal är cos(pi) + i•sin(pi)?
Är det samma tal?

Du måste alltså ta hänsyn till var i det komplexa talplanet talet befinner sig när du bestämmer vinkeln med hjälp av arctan. Detta eftersom rangens har en period på pi radianer.

Yngve skrev:
Erika.22 skrev:
Nu tror jag att jag har märkt rätt, men förstår inte hur har jag räknat fel på vinkeln, tanv=y/x och vår y är ju 0 och x är ju 1, och varför ska det bara vara 0 och inte pi?

Ja en av de två punkterna stämmer.

Om vinklarna:

Är du med på vad r och v avser när vi skriver ett komplext tal på polär form?

Om nej, läs då t.ex. detta avsnitt.

Om ja:

Vilket tal är cos(0) + i•sin(0)?

Vilket tal är cos(pi) + i•sin(pi)?

Är det samma tal?

Du måste alltså ta hänsyn till var i det komplexa talplanet talet befinner sig när du bestämmer vinkeln med hjälp av arctan. Detta eftersom rangens har en period på pi radianer.

Vad menar du med en av punkterna?

Punkt A är rätt, punkt B är fel.

Yngve skrev:
Punkt A är rätt, punkt B är fel.

punkt b är 0i eller?

Realdelen av det komplexa talet sätts av på den horisontella axeln och imaginärdelensätts av på den vertikala axeln.

Det komplexa talet z = a+bi har alltså koordinaterna (a; b) i det komplexa talplanet.

Punkt A har koordinaterna (1; 0). Kan du då säga vilket komplext tal det motsvarar?
Punkt B har koordinaterna (0; 1). Kan du då säga vilket komplext tal det motsvarar?

Yngve skrev:
Realdelen av det komplexa talet sätts av på den horisontella axeln och imaginärdelensätts av på den vertikala axeln.

Det komplexa talet z = a+bi har alltså koordinaterna (a; b) i det komplexa talplanet.

Punkt A har koordinaterna (1; 0). Kan du då säga vilket komplext tal det motsvarar?

Punkt B har koordinaterna (0; 1). Kan du då säga vilket komplext tal det motsvarar?

Punkt A har då komplex tal: 1+i

och Punkt B har komplex tal: i

Stämmer det?

Erika.22 skrev:?

Punkt A har då komplex tal: 1+i

Det stämmer inte. Vilket/vilka av följande påståenden är du inte med på?

Punkt A har koordinaterna (1; 0).
Den första koordinaten utgör det komplexa talets realdel.
Den andra koordinaten utgör det kompexa talets imaginärdel.
Det betyder att det komplexa tal som punkt A representerar har realdel 1 och imaginärdel 0.
Det betyder att det komplexa talet är 1+0•i.
Det komplexa talet kan även skrivas som bara 1.

och Punkt B har komplex tal: i

Det stämmer.

=========

Jag kanske upplevs som tjatig,men det är viktigt att du har grundförståelsen för komplexa tal och hur de represenetas i det komplexa talplanet.

Yngve skrev:
Erika.22 skrev:?

Punkt A har då komplex tal: 1+i

Det stämmer inte. Vilket/vilka av följande påståenden är du inte med på?

Punkt A har koordinaterna (1; 0).

Den första koordinaten utgör det komplexa talets realdel.

Den andra koordinaten utgör det kompexa talets imaginärdel.

Det betyder att det komplexa tal som punkt A representerar har realdel 1 och imaginärdel 0.

Det betyder att det komplexa talet är 1+0•i.

Det komplexa talet kan även skrivas som bara 1.

och Punkt B har komplex tal: i

Det stämmer.

=========

Jag kanske upplevs som tjatig,men det är viktigt att du har grundförståelsen för komplexa tal och hur de represenetas i det komplexa talplanet.

ja men gud ja förstår nu hur det blir 1. eftersom im delen är ju 0 och då blir det ju 0*i som blir 0 och därför är punkt A bara 1 :)

Erika.22 skrev:

ja men gud ja förstår nu hur det blir 1. eftersom im delen är ju 0 och då blir det ju 0*i som blir 0 och därför är punkt A bara 1 :)

Just det, bra då har polletten kanske trillat ner.

Vi prövar: Vilka komplexa tal motsvarar punkt C och D?

Yngve skrev:
Erika.22 skrev:

ja men gud ja förstår nu hur det blir 1. eftersom im delen är ju 0 och då blir det ju 0*i som blir 0 och därför är punkt A bara 1 :)

Just det, bra då har polletten kanske trillat ner.

Vi prövar: Vilka komplexa tal motsvarar punkt C och D?

D= 1+3i och c= -1

Om du menar att D motsvarar 1+2i så är det rätt.

Nu är du nog mogen att gå vidare med uppgiften.

Gå tillbaka och svara på frågorna från svar #11.

Yngve skrev:
Om du menar att D motsvarar 1+2i så är det rätt.

Nu är du nog mogen att gå vidare med uppgiften.

Gå tillbaka och svara på frågorna från svar #11.

Okej perfekt!

Vilket tal är cos(0) + i•sin(0)

=pi/2*i*pi

eller =pi/2

Vilket tal är cos(pi) + i•sin(pi)?

=-1

Är det samma tal?

Nej

Erika.22 skrev:

Okej perfekt!

Vilket tal är cos(0) + i•sin(0)

=pi/2*i*pi

eller =pi/2

Nej, det stämmer inte. Visa hur du kommer fram till det.

Vilket tal är cos(pi) + i•sin(pi)?

=-1

Ja det stämmer.

Yngve skrev:
Erika.22 skrev:

Okej perfekt!

Vilket tal är cos(0) + i•sin(0)

=pi/2*i*pi

eller =pi/2

Nej, det stämmer inte. Visa hur du kommer fram till det.

Vilket tal är cos(pi) + i•sin(pi)?

=-1

Ja det stämmer.

cos(0) = pi/2

sin(0)= antingen 0 eller pi

Men slog nu in i räknaren och fick cos(0) = 1 och sin(0)=0 vilken är rätt isåfall, ska man titta på enhetscirkeln för det eller?

Bra. Att cos(0) = 1 och sin(0) = 0 bör du lära dig utantill.

Det du kanske tänker på är att sin(0) = sin(pi) och att cos(pi/2) = 0.

Yngve skrev:
Bra. Att cos(0) = 1 och sin(0) = 0 bör du lära dig utantill.

Det du kanske tänker på är att sin(0) = sin(pi) och att cos(pi/2) = 0.

Okej då har jag lärt mig det också :)

OK då försöker vi igen med frågorna från svar #11

Vilket tal är cos(0) + i•sin(0)?

=0

Vilket tal är cos(pi) + i•sin(pi)?

-1
Är det samma tal?

Nej

Erika.22 skrev:

Vilket tal är cos(0) + i•sin(0)?

=0

Nej det stämmer inte. Läs första meningen i svar #25 igen.

Yngve skrev:
Erika.22 skrev:

Vilket tal är cos(0) + i•sin(0)?

=0

Nej det stämmer inte. Läs första meningen i svar #25 igen.

=1

OK bra.

Du vet nu att cos(0) + i•sin(0) = 1 och att cos(pi) + i•sin(pi) = -1.

Då är du redo att fortsätta med tipset från svar #4, dvs att i ekvationen

r¹⁰•(cos(10v) + i•sin(10v)) = 1

uttrycka högerledet, dvs talet 1, som ett komplext tal på polär form?

Och sedan utifrån det bestämma r och v?

Yngve skrev:
OK bra.

Du vet nu att cos(0) + i•sin(0) = 1 och att cos(pi) + i•sin(pi) = -1.

Då är du redo att fortsätta med tipset från svar #4, dvs att i ekvationen

r¹⁰•(cos(10v) + i•sin(10v)) = 1

uttrycka högerledet, dvs talet 1, som ett komplext tal på polär form?

Och sedan utifrån det bestämma r och v?

Okej alltså

$r^{10} \times (\cos (10 v) + i \sin (10 v)) = r (\cos (0) + i \sin (0))$

eller ska man kanske använda samma r?

Du vet att 1 = cos(0) + i•sin(0)

Skriv nu cos(0) + i•sin(0) som 1•(cos(0) + i•sin(0))

Hur ser ekvationen ut då?

Yngve skrev:
Du vet att 1 = cos(0) + i•sin(0)

Skriv nu cos(0) + i•sin(0) som 1•(cos(0) + i•sin(0))

Hur ser ekvationen ut då?

Förlåt blir jätte förvirrad av dina frågor, du har ju skrivit ut hur ekvationen blir eller? r måste ju väl vara 1

Ja. Men du skrev r även i högerledet i svar #32, så jag tänkte att du inte visste att det skulle stå 1 där.

Yngve skrev:
Ja. Men du skrev r även i högerledet i svar #32, så jag tänkte att du inte visste att det skulle stå 1 där.

Jaha då förstår jag men yes det ska vara som du skrev. $r^{10} \times (\cos (10 v) + i \sin (10 v)) = 1 (\cos (0) + i \sin (0))$

så ska det vara ellerhur men hur gör man för att få v? ja vet att tan v=y/x men vi har ju inte y och x eller?

Bra.

Egentligen så är 1 = 1•(cos(0+n•2pi) + i•sin(0+n•2pi)) = 1•(cos(n•2pi) + i•sin(n•2pi))

Då får vi de båda ekvationerna

r¹⁰ = 1 och
10v = n•2pi

Nu kan du lösa ut r och v.

Yngve skrev:
Bra.

Egentligen så är 1 = 1•(cos(0+n•2pi) + i•sin(0+n•2pi)) = 1•(cos(n•2pi) + i•sin(n•2pi))

Då får vi de båda ekvationerna

r¹⁰ = 1 och

10v = n•2pi

Nu kan du lösa ut r och v.

Okej och r vet vi ju är 1 ellerhur?

och 10v=n2pi

men vi vet ju inte n? hur ska ja lösa v

Erika.22 skrev:

Okej och r vet vi ju är 1 ellerhur?

Ja det stämmer. Alla lösningar ligger alltså på enhetscirkeln.

och 10v=n2pi

men vi vet ju inte n? hur ska ja lösa v

n är ett heltal och du använder det precis på samma sätt som när du löste trigonometriska ekvationer av typen sin(3v) = 0,5.

Dvs du löser ut v på följande sätt:

10v = n•2pi

v = n•pi/5.

Välj nu olika värden på n och se var lösningarna hamnar:

För n = 0 fås v = 0•pi/5 = 0. En lösning är alltså z = 1•(cos(0) + i•sin(0)). Kontrollera att den stämmer.
För n = 1 fås v = 1•pi/5 = pi/5. En lösning är alltså z = 1•(cos(pi/5) + i•sin(pi/5)). Kontrollera att den stämmer.
För n = 2 fås v = 2•pi/5 = 2pi/5. En lösning är alltså z = 1•(cos(2pi/5) + i•sin(2pi/5)). Kontrollera att den stämmer.

Och så vidare

Yngve skrev:
Erika.22 skrev:

Okej och r vet vi ju är 1 ellerhur?

Ja det stämmer. Alla lösningar ligger alltså på enhetscirkeln.

och 10v=n2pi

men vi vet ju inte n? hur ska ja lösa v

n är ett heltal och du använder det precis på samma sätt som när du löste trigonometriska ekvationer av typen sin(3v) = 0,5.

Dvs du löser ut v på följande sätt:

10v = n•2pi

v = n•pi/5.

Välj nu olika värden på n och se var lösningarna hamnar:

För n = 0 fås v = 0•pi/5 = 0. En lösning är alltså z = 1•(cos(0) + i•sin(0)). Kontrollera att den stämmer.

För n = 1 fås v = 1•pi/5 = pi/5. En lösning är alltså z = 1•(cos(pi/5) + i•sin(pi/5)). Kontrollera att den stämmer.

För n = 2 fås v = 2•pi/5 = 2pi/5. En lösning är alltså z = 1•(cos(2pi/5) + i•sin(2pi/5)). Kontrollera att den stämmer.

Och så vidare

Men jag förstår inte, det du har skrivit nu är vad v kan anta beroende på vad n är? är detta alltså svaret? hahah blir så förvirrad av allt vi har pratat om så glömde bort riktiga frågan, vi ville ha en icke reell rot men detta kan väl inte vara hela svaret då

Erika.22 skrev:

Men jag förstår inte, det du har skrivit nu är vad v kan anta beroende på vad n är?

Ja, det är alla lösningar till ursprungsekvationen. De ligger alltså jämnt fördelade över enhetscirkeln.

är detta alltså svaret?

hahah blir så förvirrad av allt vi har pratat om så glömde bort riktiga frågan, vi ville ha en icke reell rot men detta kan väl inte vara hela svaret då

Nej svaret på frågan är vilken som helst av dessa lösningar förutom de där v = n•pi. Fundera lite varför det är så.

Yngve skrev:
Erika.22 skrev:

Men jag förstår inte, det du har skrivit nu är vad v kan anta beroende på vad n är?

Ja, det är alla lösningar till ursprungsekvationen. De ligger alltså jämnt fördelade över enhetscirkeln.

är detta alltså svaret?

hahah blir så förvirrad av allt vi har pratat om så glömde bort riktiga frågan, vi ville ha en icke reell rot men detta kan väl inte vara hela svaret då

Nej svaret på frågan är vilken som helst av dessa lösningar förutom de där v = n•pi. Fundera lite varför det är så.

för att då är den reell eller? nu gissar jag lite grann..

Ja det stämmer att alla lösningar där vinkeln är en multipel av pi ligger på realdelsaxeln, dvs de saknar imaginärdel.

Tänk på att z = r•(cos(w) + i•sin(w))

Imaginärdelen av z är då r•sin(w) och eftersom sin(w) = 0 då w = n•pi så får vi då att imaginärdelen är lika med 0 för dessa vinklar.

Yngve skrev:
Ja det stämmer att alla lösningar där vinkeln är en multipel av pi ligger på realdelsaxeln, dvs de saknar imaginärdel.

Tänk på att z = r•(cos(w) + i•sin(w))

Imaginärdelen av z är då r•sin(w) och eftersom sin(w) = 0 då w = n•pi så får vi då att imaginärdelen är lika med 0 för dessa vinklar.

Tack så mycket yngve du är bäst!