Icke realla lösningar trigonometri

Nej, talet -Sqr(2) är ett reellt tal som ligger till vänster om origo på reella axeln. Däremot är Sqr(-2) inte reellt. Kan du lägga upp det ursprungliga problemet (dvs inte bara ”lösningen”?).

Maddefoppa skrev:

Hej! Jag vet inte hur jag ska lyckas lösa det här.

Tror jag kommit fram till att A inte stämmer eftersom för sambandet för sinv gäller att om roten ur 2 är en lösning kommer också - roten ur tvä vara en. Men roten ur - två är komplext tal därmed ej reallt.

 

för B ansatt jag sinx= y & cosx= x. Och vet ju att trig 1 innebär att båda ska kvadreras. Så känns som att den inte heller borde stämma. Men som sagt väldigt osäker på hur jag ska tänka:)

 

B uppgiften,

sin(x)cos(x) = 1

Känner du till det är sambandet?

om du tillämpar det på din ekvation, vad får du då?

Är det lösbart?

Nej vi har enbart jobbat med dessa samband:

Ja just det! Så A blir ändå realt?

Maddefoppa skrev:

Ja just det! Så A blir ändå realt?

Ja, det blir det

Jag tror jag lyckades komma fram till att D också blir realt.

ja det är det, men du har gjort lite fel på slutet

4x = 0+n*360

Dela med 4 på bägge sidor

x = n*90

Oki! Ja! Det var det jag gjorde när jag fick 90😂

hur kommmer jag vidare med påstående B & C?

För a förstår jag inte riktigt VARFÖR det blir realt tänker så här men vet inte om jag resonerar rätt..

Enligt polära formen

A.sinx= √ 2

√2= avståndet r från origo 

Ex. låt z = 1 + i. Då är..

 |z|= √z · z ̄ =√ 1² + 1²=√2

r=√2
r= |z|  tecknar AVSTÅND till ORIGO

r=√ a² + b²
 

Arg(z) = 1 + i är π/4 pga vinkeln mellan den positiva reella axeln

& RÄTA linje från ORIGO

från origo till punkten (1,1) är  π/4.

Ex. Arg(z) till z = i − 1 är 3π/4 eftersom vinkeln mellan linjen genom origo till

punkten (−1, 1) = π/2 + π/4 = 3π/4, 

Dvs. Det finns två vinklar: 3π/4, π/4,

2 korinater: (1,1) & (-1,0)

Nej, A blir inte reellt. Värdemängden för sinus är från -1 till 1 inklusive gränserna. 

Förslag på resonemang till A:

• Värdet av $\sin(x)$ kan aldrig bli större än $1$ (värdemängden till $\sin(x)$ är $[-1,1]$).
• $\sqrt{2}$ är större än 1.
• Därför saknar ekvationen $\sin(x)=\sqrt{2}$ lösning.

============

Du kan även se i enhetscirkeln att ett sinusvärde aldrig kan bli större än 1.

Detta eftersom sinusvärdet är den vertikala positionen för skärningspunkten mellan vinkelbenet och enhetscirkeln. Och  enhetscirkeln har ju radien 1.

Fråga B:

Trigettan behövs inte här och du kan inte ansätta att sin(x) = x.

Förslag på tankegång:

Vänsterledet består av de två faktorerna sin(x) och cos(x). Vi vill undersöka om produkten av dessa kan vara lika med 1.

Går det att få till?

Tips: Tänk på de båda faktorernas värdemängder.

Tips till C-uppgiften: Fundera på värdemängd även här.

Maddefoppa skrev:

Oki! Ja! Det var det jag gjorde när jag fick 90😂

Du skrev x = 90° i svar #7, men det ska stå x = n•90°. Eller hellre x = n•pi/4.

Men egentligen räcker det med att hitta en av dessa lösningar, t.ex. x = pi/2, precis som du skrev.

Tack så mycket! Gällande A. Så ekvationen saknar alltså både realla & icke realla lösningar! 

Smart att koppla till värdemängden. Tänkte inte på det! 

För B tänker jag..

Värdemängder

sin(x)=värdemängden (Vf) intervall [-1,1]

cos(x)=värdemängden (Vf) intervall [-1,1]

Ekvationslösning & ansättning: sin(x)=x

x•cos(x)=1

x=1/cos(x)

cos(0) & cos(2π)=1

men känns rent allmänt fel.

för nu när jag tänker efter om x•y=1

y=sin(x)

x= cos(x)

måste ju antingen y=-1/2 & x=-1/2 eller

y=1/2 & x=1/2

Om jag tänker rätt för C. Borde det finnas realla lösningar då..

Alternativ: 

(-½)•(-½)=1 (y &x=-½)
(½)•(½)=1 (y &x=½)
Cos(x) värden: cos(π/3)=½ eller 

cos(2π/3)=-½

sin(x) värden: sin(π/6)=½ eller sin(7π/6)=-½

Vilken värdemängd har cosinusfunktionen?

För c tänker jag efter din ledtråd att..

C.cos(3x)=3 

3=cos(3x)

cos(x)=värdemängden (Vf) intervall [-1,1]

3>1 och kan EJ ingå i värdemängden, ekvationen saknar lösningar.

Samma som för sinus som jag skrev ovan mellan -1 och 1.

Förstår fortfarande inte riktigt hur man ska tänka? Om elvationenen saknar lösning innebär det också att det är ekivavalent med att den saknar realla rötter?

Ja, åtminstone i det här fallet - jag vågar inte säga att det alltid, alltid, alltid är så, men jag tror det.

Maddefoppa skrev:

Tack så mycket! Gällande A. Så ekvationen saknar alltså både realla & icke realla lösningar!

Ja, det stämmer.

Maddefoppa skrev:

För B tänker jag..

Värdemängder

sin(x)=värdemängden (Vf) intervall [-1,1]

cos(x)=värdemängden (Vf) intervall [-1,1]

Ekvationslösning & ansättning: sin(x)=x

x•cos(x)=1

x=1/cos(x)

cos(0) & cos(2π)=1

men känns rent allmänt fel.

för nu när jag tänker efter om x•y=1

y=sin(x)

x= cos(x)

måste ju antingen y=-1/2 & x=-1/2 eller

y=1/2 & x=1/2

Nej du kan inte ansätta att $x=\sin(x)$ eftersom du då använder x på två helt olika sätt.

Samma sak gäller om du försöker ansätta att $x=\cos(x)$

Om du vill ersätta sinus- och cosinusuttrycken så kan du istället införa t.ex. $t$ och $u$ så att $t=\sin(x)$ och att $u=\cos(x)$

Ekvationen blir då $t\cdot u=1$, där $-1\leq t\leq1$ och $-1\leq u\leq1$

Vi vill nu ta reda på om vi kan välja $t$ och $u$ så att denna ekvation är uppfylld.

För att göra det så underlättar det att dela upp det hela i ett par olika fall:

• $-1<>$. Då gäller att $-1$, oavsett vilket värde $u$ har, dvs ingen lösning här.
• $-1<>$. Även då gäller att $-1$, oavsett vilket värde $t$ har, dvs ingen lösning här.
• Återstår fallen att $t$ och/eller $u$ har värdena $-1$ och/eller $1$. Detta fall överlåter jag åt dig att analysera. Vilka av dessa fyra kombinationer av $t$ och $u$ ger produkten $1$? Är det möjligt att $t$ och $u$ har dessa värden?

Maddefoppa skrev:

För c tänker jag efter din ledtråd att..

C.cos(3x)=3 

3=cos(3x)

cos(x)=värdemängden (Vf) intervall [-1,1]

3>1 och kan EJ ingå i värdemängden, ekvationen saknar lösningar.

Bra, det stämmer!

(Egentligen bör du skriva att värdemängden till cos(3x) är [-1,1].)