Icke linjärt ekvationssystem

Jag vet inte riktigt hur jag ska angripa problemet. Jag försökte skapa en jacobimatris men är osäker på om jag ens tänkt rätt. Newtons metod känner jag mig hemma med, men inte vägen dit 🙄.

Du har en funktion F: $ℝ^{3}$ $\to$ $ℝ^{3}$ och vill lösa ekvationen

$[\begin{matrix} F_{1} (\vec{u}) \\ F_{2} (\vec{u}) \\ F_{3} (\vec{u}) \end{matrix}]$ = F( $\vec{u}$ ) = 0.

Om vi väljer ett startvärde ${\vec{a}}_{0}$ så kan vi linjärisera F kring ${\vec{a}}_{0}$ mha Taylors formel (och försummande av högre ordningens termer), som i komponentform lyder

F_i( $\vec{u}$ ) $\approx$ F_i( ${\vec{a}}_{0}$ ) + $\sum_{j = 1}^{3}$ F_i,j( ${\vec{a}}_{0}$ )d_i

Där F_i,j = $\frac{\partial F_{i}}{\partial u_{j}}$ och d_i = ( $\vec{u}$ - ${\vec{a}}_{0}$ )_i.

I matrisform blir detta

F( $\vec{u}$ ) $\approx$ F( ${\vec{a}}_{0}$ ) + $\nabla F ({\vec{a}}_{0})$ $\vec{d}$ , där

$\nabla F$ = $[\begin{matrix} F_{1, 1} & F_{1, 2} & F_{1, 3} \\ F_{2, 1} & F_{2, 2} & F_{2, 3} \\ F_{3, 1} & F_{3, 2} & F_{3, 3} \end{matrix}]$ .

Så i ett första steg löser man ekvationssystemet

$\nabla F$ ( ${\vec{a}}_{0}$ ) $\vec{d}$ = -F( ${\vec{a}}_{0}$ ) för $\vec{d}$ .

Man får sedan nästa ansats ${\vec{a}}_{1}$ enligt

${\vec{a}}_{1}$ = ${\vec{a}}_{0}$ + $\vec{d}$ . Så kan man upprepa hela proceduren igen.

Din matris ser bra ut, men du missade att kvadrera sista komponenten på sista raden.

PATENTERAMERA skrev:
Du har en funktion F: $ℝ^{3}$ $\to$ $ℝ^{3}$ och vill lösa ekvationen
$[\begin{matrix} F_{1} (\vec{u}) \\ F_{2} (\vec{u}) \\ F_{3} (\vec{u}) \end{matrix}]$ = F( $\vec{u}$ ) = 0.
Om vi väljer ett startvärde ${\vec{a}}_{0}$ så kan vi linjärisera F kring ${\vec{a}}_{0}$ mha Taylors formel (och försummande av högre ordningens termer), som i komponentform lyder
F_i( $\vec{u}$ ) $\approx$ F_i( ${\vec{a}}_{0}$ ) + $\sum_{j = 1}^{3}$ F_i,j( ${\vec{a}}_{0}$ )d_i
Där F_i,j = $\frac{\partial F_{i}}{\partial u_{j}}$ och d_i = ( $\vec{u}$ - ${\vec{a}}_{0}$ )_i.
I matrisform blir detta
F( $\vec{u}$ ) $\approx$ F( ${\vec{a}}_{0}$ ) + $\nabla F ({\vec{a}}_{0})$ $\vec{d}$ , där
$\nabla F$ = $[\begin{matrix} F_{1, 1} & F_{1, 2} & F_{1, 3} \\ F_{2, 1} & F_{2, 2} & F_{2, 3} \\ F_{3, 1} & F_{3, 2} & F_{3, 3} \end{matrix}]$ .
Så i ett första steg löser man ekvationssystemet
$\nabla F$ ( ${\vec{a}}_{0}$ ) $\vec{d}$ = -F( ${\vec{a}}_{0}$ ) för $\vec{d}$ .
Man får sedan nästa ansats ${\vec{a}}_{1}$ enligt
${\vec{a}}_{1}$ = ${\vec{a}}_{0}$ + $\vec{d}$ . Så kan man upprepa hela proceduren igen.
Din matris ser bra ut, men du missade att kvadrera sista komponenten på sista raden.

Tack för förklaringen!

Svara