Icke-homogena diff. ekvationer - varför behöver vi bara en partikulärlösning?

God kväll!

Jag håller på att studera differentialekvationer. Låt säga att vi skulle försöka lösa en ekvation:

$\displaystyle y''+a(x)y'+b(x)y=f(x)$

Vi säger då att den generella lösningen kommer vara på formen $\displaystyle y=y_h+y_p$ , där $y_p$ är någon partikulärlösning och $y_h$ är lösningen till den homogena motsvarigheten till ekvationen ovan. Det jag inte förstår är hur vi tar med alla lösningar när vi bara hittar en partikulärlösning. Det finns väl hur många partikulärlösningar som helst? Kommer vårt svar inte se annorlunda ut beroende på vilken partikulärlösning vi hittar?

Det kan se annorlunda ut, men alla skillnader mellan olika partikulärlösningar täcks in av den homogena lösningen.

Om y_p1 är en lösning och y_p2 är en lösning, så är y_p1-y_p2 en lösning till den homogena ekvationen.

Om y_p1 är en lösning och y_p2 är en lösning, så är y_p1-y_p2 en lösning till den homogena ekvationen.

Yes, detta är jag med på! Men jag ser inte riktigt kopplingen mellan detta och att den homogena lösningen täcker in skillnaderna mellan de olika partikulärlösningarna. Skulle du kunna förklara det lite mer? Gärna med ett exempel om du har tid.

Ja, efter lite tankeverksamhet tror jag att jag förstår. Om vi låter $\displaystyle Ly=y''+a(x)y'+b(x)y=f(x)$ , där $L$ är en linjär operator, och låter $y_{p1}$ samt $y_{p2}$ vara två partikulärlösningar kommer:

$L(y_{p1}-y_{p2})=L(y_{p1})-L(y_{p2})=0 \iff L(y_p1)=L(y_{p2})$

Så om vi nu skulle stoppa in $y=y_{p1}+y_h$ och $y=y_{p2}+y_h$ i vår operator skulle vi få:

$\displaystyle L(y_{p1}+y_h)=L(y_{p1})+L(y_h)$ och $\displaystyle L(y_{p2}+y_h)=L(y_{p2})+L(y_h)$

Det betyder att $\displaystyle L(y_{p1}+y_h)=L(y_{p2}+y_h)$

Så oavsett val på partikulärlösning får vi samma lösning.

Stämmer det?

Ja, det ser vettigt ut.

Svara

Visa senaste svar