Icke-deriverbara funktioner

Enkla parabler (andragradare) och räta linjer borde man kunna skissa utan några större problem utan att behöva beräkna några derivator eller värden. 

Men varför skulle du vilja skissa här förresten? Du måste inte göra det för att lösa uppgiften.

Jag förstår inte riktigt, ska samma ekvation i a) vara både 0 och x², eller hur ska det vara? Tror jag missar något. 

Att skissa grafer är inte det lättaste för mig, försöker göra det så ofta jag kan för att öva.

MrPotatohead skrev:

Men varför skulle du vilja skissa här förresten? Du måste inte göra det för att lösa uppgiften.

Jo det står att man ska skissa och då ska man göra det. 

Papper och penna, det är all teknik som krävs. 

Dr.scofield

Att skissa grafer är inte det lättaste för mig, försöker göra det så ofta jag kan för att öva.

Börja med värden för negativa x.

Pieter Kuiper skrev:

Dr.scofield

Att skissa grafer är inte det lättaste för mig, försöker göra det så ofta jag kan för att öva.

Börja med värden för negativa x.

Nu kommer jag låta lite dum men förstår inte alls var ni menar. Vad ska jag göra med den givna informationen för att avgöra utseendet på grafen? 

Dr.scofield skrev:

Pieter Kuiper skrev:

Visa föregående citat

Dr.scofield

Att skissa grafer är inte det lättaste för mig, försöker göra det så ofta jag kan för att öva.

Börja med värden för negativa x.

Nu kommer jag låta lite dum men förstår inte alls var ni menar. Vad ska jag göra med den givna informationen för att avgöra utseendet på grafen? 

Hur stor är f(-5) enligt funktionens definition?

25?

Dr.scofield skrev:

Hur stor är 0 ?

0. 😅 Jag tittade på vad som stod under det.

Du kan tänka att grafen består av två delar. För negativa värden på $x$, alltså till vänster om $y$-axeln, ser grafen ut som funktionen $y=0$.

För icke-negativa värden på $x$, alltså till höger om y-axeln, ser grafen ut som $y=x^2$.

Något sådant?

Hur ser funktionen $y=x^2$ ut? Du vill ha den högra halvan av den.

Oj, just det. Den ska vara positiv. Blir det så här? 

Kan du rita grafen till $y=x^2$ en gång först?

Hur skulle det se ut om vi bara tillät värden på $x$ som är större än eller lika med 0?

Grafen skulle flyttas till höger?

Det är inget som flyttas, det blir bara den högra halvan kvar. Vi ritar alltså inte något till vänster om $y$-axeln.

Jaha så menar du, nu hänger jag med. Hur går jag vidare?

Nu vet du hur halva din funktion ser ut. När $x<0$ såg den istället ut som $y=0$. Hur blir det om du sätter ihop delarna?

Precis. Detta är alltså en skiss av funktionen som ges av $f(x) = 0$ om $x<0$ och $f(x) =x^2$ om $x\geq 0$. Det är alltså inte hela grafen till $f(x) =x^2$ som är med, eftersom där får $x$ vara vad som helst. I vårt fall har vi bara delen där $x\geq 0$. Detta sätt att ange funktioner på kan man tänka som att man får dem "styckvis"; de ser ut som olika andra funktioner beroende på vilka värden på $x$ man har. Här har vi en funktion som ser ut som en vågrät linje längs $x$-axeln fram till 0 där funktionen byter till att se ut som $y=x^2$.

Om du känner dig manad kan du försöka skissa funktionen i uppgift b).

Jajamän! Om jag får be om hjälp med en sista sak i a) undrar jag hur jag ska undersöka vänster- och högerderivatan där x = 0.  Hur ska jag använda vänster och höger differenskvot här?

För att en funktion ska vara deriverbar I en punkt $x=a$ så måste gränsvärdet

$\lim_{x\to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}$ existera.

Detta gränsvärde existerar om och endast om höger- och vänstergränsvärdena existerar och är lika:

$\lim_{x\to a^+} \frac{\dots}{\dots} = \lim_{x\to a^-} \frac{\dots}{\dots}$.

I den första uppgiften är $a=0$, och vi får att

$\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x^2-0}{x}=\lim_{x\to 0^+} x = 0$.

Här använder vi att när $x$ närmar sig 0 från höger så är $x$ positivt, och vår funktion är $f(x) =x^2$.

När funktionen närmar sig 0 från vänster, alltså när $x<0$, kom ihåg att då är $f(x) =0$. Kommer du vidare då?

Yes, borde jag kunna göra! Kan man kanske lösa uppgiften utan att använda sig av gränsvärde? Enbart med vänster- och höger differenskvot formlerna?

Nja, vänster- och högerderivatorna är definierade som gränsvärden, precis som den vanliga, tvåsidiga derivatan är definierad som ett gränsvärde. Du måste därför visa att gränsvärdena (höger och vänsterderivatorna) existerar och är lika för att kunna svara på om funktionen är deriverbar.

Pieter Kuiper skrev:

MrPotatohead skrev:

Men varför skulle du vilja skissa här förresten? Du måste inte göra det för att lösa uppgiften.

Jo det står att man ska skissa och då ska man göra det. 

Snyggt fångat!

Gustor skrev:

Nja, vänster- och högerderivatorna är definierade som gränsvärden, precis som den vanliga, tvåsidiga derivatan är definierad som ett gränsvärde. Du måste därför visa att gränsvärdena (höger och vänsterderivatorna) existerar och är lika för att kunna svara på om funktionen är deriverbar.

OK! Tack så mycket för din tid och hjälp!