icke-cyklisk grupp

Att prova att sätta $G:=C_3\times C_3\times C_7$ låter som en utmärkt idé!

Precis som du säger får du då $|G|=3\cdot 3\cdot 7=63$. Kvar att göra nu är att:

1. Kolla så att $G$ verkligen har ett element med ordning 21.
2. Kolla så att $G$ inte är cyklisk.

Om båda de sakerna stämmer är du klar! Om det inte stämmer måste du gå tillbaka till ritbordet och försöka konstruerna någon annan grupp med ordning 63.

Har du några idéer på hur man kollar de två sakerna? Några "uppvärmningsfrågor" som du kan börja med att fundera på annars är dessa:

• Hur ser elementen i $G$ ut? Kan du skriva upp en lista? (Att skriva ut alla 63 elementen är kanske lite jobbigt, men du kan ju i alla fall påbörja en lista, bara så att du får en känsla för hur gruppen ser ut.)
• Vad betyder det att ett element "har ordning 21"?
• Vad betyder det att en grupp "är cyklisk"? Hur kan man visa att en grupp inte är cyklisk?

tar man elementet 3 bör det väl få ordning 21 då 3*21=63 så tar vi och adderar elementet 3, 22 gånger får vi ju tillbaka 3.

men hur ska man avgöra om gruppen är cyklisk när vi har en grupp med så många element

B.N. skrev:

tar man elementet 3 bör det väl få ordning 21 då 3*21=63 så tar vi och adderar elementet 3, 22 gånger får vi ju tillbaka 3.

Elementen i $G=C_3\times C_3\times C_7$ är tripplar $(x,y,z)$, där $x\in C_3$, $y\in C_3$ och $z\in C_7$, så det är inte helt tydligt vad du menar med "elementet 3".

men hur ska man avgöra om gruppen är cyklisk när vi har en grupp med så många element

Frågan du måste ställa dig är om det finns något element i $G$ som har ordningen 63 (och som därmed genererar hela gruppen). Eftersom det bara finns 63 element i $G$ så skulle du i princip kunna köra brute-force-metoden och lista de olika gruppelementen ett efter ett och kontrollera vad ordningen blir. Du kan ju åtminstone påbörja en sådan lista! Har du tur ser du efter ett tag ett mönster och kommer på ett smart argument som gör att du inte behöver testa alla olika möjligheter!

För att göra detta behöver du välja någon slags konkreta "inkarnationer" av $C_3$ och $C_7$.

Det tydligaste är kanske att hitta på några generatorer $a$ och $b$, så att $C_3=\{1,a,a^2\}$ och $C_7=\{1,b,b^2,b^3,b^4,b^5,b^6\}$.

Några exempel på element i $G$ skulle nu kunna vara $(1,1,1)$ (som har ordning 1), $(a^2,1,1)$ (som har ordning 3, kontrollera!) och $(a^2,1,b^5)$ (som har den sökta ordningen 21, kontrollera!).

Sidenote: Ett annat alternativ (detta är väldigt mycket en smaksak!) är att identifiera $C_3$ och $C_7$ med de additativa grupperna $\mathbb{Z}_3$ respektive $\mathbb{Z}_7$. Elementen jag nämner ovan motsvarar då $([0],[0],[0])$, $([2],[0],[0])$ och $([2],[0],[5])$.

okej om man då kör med de additiva grupperna istället och får då    ${\mathrm{\mathbb{Z}}}_3=\left\{0,0,0\right\}, {\mathrm{\mathbb{Z}}}_3=\left\{2,0,0\right\}, {\mathrm{\mathbb{Z}}}_7=\left\{2,0,5\right\}$ och ordningen        (0,0,0)=1, (2,0,0)=3 och (2,0,5)=21 så långt är jag med på att ordningen stämmer men hur vet vi att vi ska leta efter en grupp som har ordningen 21, är det för att mgm(3,7)=21 ?

och för att en grupp är cyklisk så ska man kunna generera hela gruppen genom ett av elementen och kollar man  på gruppen (0,0,0) så blir den ju cyklisk och gruppen (2,0,0) kan genereras av båda nollorna $\begin{array}{cccc}{\mathrm{\mathbb{Z}}}_3& 2& 0& 0\\ 2& 1& 2& 2\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\end{array}$ och för gruppen (2,0,5) får vi $\begin{array}{cccc}{\mathrm{\mathbb{Z}}}_7& 2& 0& 5\\ 2& 4& 2& 0\\ 0& 2& 0& 5\\ 5& 0& 5& 4\end{array}$ och där ser vi att elementet 0 genererar hela gruppen, därmed är väl samtliga undergrupper cykliska?

B.N. skrev:

men hur vet vi att vi ska leta efter en grupp som har ordningen 21 [...]?

Det står i uppgiften! Du ska konstruera en grupp $G$ som uppfyller följande krav:

• Den har 63 element.
• Den innehåller ett element med ordning 21.
• Den är inte cyklisk.

Ditt förslag var $G:=C_3\times C_3\times C_7$. Det är lätt att kolla att den första punkten uppfylls. Kvar är att kontrollera de två sista.

kollar man  på gruppen (0,0,0) [...]

$(0,0,0)$ är ett element i $GG$ och inte en grupp, så det här makear ingen sense.

jag förstår inte riktigt men ska vi inte kolla om (0,0,0) (2,0,0) och (2,0,5) är cykliska?