icke-cyklisk grupp

Hej

jag har fastnat på en uppgift som jag skulle behöva lite hjälp med:

Konstruera ett exempel av en icke-cyklisk grupp G av ordning $|G|$ =63 och ett element $h \in G$ av ordning 21.

jag förstår inte riktigt hur man ska göra för att lösa uppgiften. I facit har dom valt $C_{3}$ och $C_{7}$ och sedan satt G= $C_{3} \times C_{3} \times C_{7}$

Notera att $63 = 3^2 \cdot 7$ . Sedan lägger du märke till att om $a, b \in C_3$ har ordningen $o_1, o_2$ och $c \in C_7$ har ordningen $o_3$ så har elementet $(a, b, c)$ ordningen $lcm(o_1, o_2, o_3)$ . Så om jag förstår notationen korrekt, att $C_k$ är den generella cykliska gruppen(?) av ordning k. Då kan du ju notera att alla element har antingen ordningen 3 eller 1 i $C_3$ och 7 eller 1 i $C_7$ .

Därför kan du inte få ett element med större ordning än $21$ i $C_3 \times C_3 \times C_7$ . Vilket alltså innebär att den inte kan vara cyklisk. Sen noterar du att gruppen innehåller 63 element.

Svara