Icke-cyklick delgrupp till permutationsgrupp
Hej,
Har i uppgift att ge exempel på en abelsk, icke-cyklisk delgrupp till S8 (permutationer med 8 element) med 9 element. Har svårt att veta hur jag ska angripa denna uppgift. Finns det någon regel/sats gällande hur man kan konstruera en delgrupp för att den ska bli icke-cyklisk?
Började skissa på en delgrupp med hänsyn till att mgm skulle vara större än 9 (för att inte bli cyklisk) men har inte någon idé om hur jag ska konstruera delgruppen så att den är sluten (alltså att xy ligger i delgruppen för alla x och y). Någon som kan hjälpa på vägen? Tack på förhand!
Det finns nog olika sätt att göra detta.
Först och främst är en delgrupp icke-cyklisk om den genereras av mer än ett element. Enklast blir det i detta fall om vi tänker oss 2 element.
Så antag att a och b är två element av ordning j och k, respektive och antag att dessa kommuterar. Delgruppen som genereras av a och b har då MAX j*k element, nämligen a^x * b^y där x är mellan 0 och j-1 och y mellan 0 och k-1. Observera max för om a är en potens av b eller vice versa, typ a^2=b, så kommer vissa av uttrycken a^x * b^y referera till samma element.
Men om de kommuterar och den ena inte är en potens av den andra så kommer vi få precis j*k element.
I vårt fall vill vi j*k=9 så välj båda lika med 3.
Det vill säga hitta 2 permutationer av ordning 3 som kommuterar och där den ena inte är en potens av den andra.
Delgruppen de genererar uppfyller dina villkor.
