I vilket intervall är funktionen f (x)= ln2x - 0,5x^(2) växande?

Inspiredbygreatness skrev :

Först så tänkte jag ta reda på var de extremapunkterna i funktionen f (x) ligger för att sedan avgöra vilken karaktär dessa punkter har med hjälp av f''(x).

Så fick jag reda på att x värdet där maximipunkten ligger är 1. Och det är här jag har fastnat eftersom jag vet inte hur jag ska räkna ut koordinationen där funktionen f (x) börjar växa. Någon som kan ge mig en hint?

När de frågar efter intervall så menar de intervall för den oberoende variabeln x. Så det räcker att ta reda på för vilka värden på x som funktionen är växande.

Tips:

• I det/de intervall där förstaderivatan $f'(x)\geq 0$ är funktionen $f(x)$ växande.
• I det/de intervall där förstaderivatan $f'(x)\leq 0$ är funktionen $f(x)$ avtagande.

Hej!

Eftersom definitionsmängden till funktionen $f(x) = \ln 2x - 0.5x^2$ är intervallet $(0,\infty)$ så vill du visa att på intervallet $(0,1)$ är funktionens derivata $f'(x) = \frac{1}{x} - x$ strikt positiv och att på intervallet $(1,\infty)$ är $f'(x)$ strikt negativ.

Albiki

Tack för svaret Yngwe. Jag förstår redan allt det du förklarade. Men jag vet inte hur jag ska ta reda på från vilken x punkt kurvan börjar att växa. Jag vill kunna ta reda på det här genom beräkning om det går. Grafen visar att kurvan börjar växa från när x är 0, men som sagt jag vill beräkna fram det här värdet om det går.

Albiki skrev :

Hej!

Eftersom definitionsmängden till funktionen $f(x) = \ln 2x - 0.5x^2$ är intervallet $(0,\infty)$ så vill du visa att på intervallet $(0,1)$ är funktionens derivata $f'(x) = \frac{1}{x} - x$ strikt positiv och att på intervallet $(1,\infty)$ är $f'(x)$ strikt negativ.

Albiki

Tack för svaret albiki hur fick du fram koordinationen  (0,1) när kurvan aldrig passerar y=1 i x punkten 0?

Inspiredbygreatness skrev :

...

Men jag vet inte hur jag ska ta reda på från vilken x punkt kurvan börjar att växa. Jag vill kunna ta reda på det här genom beräkning om det går.

...

Ja det går att beräkna.

1. Derivera funktionen f(x).

2. Lös olikheten $f'(x)\geq 0$.

Lösningsmängden utgör det intervall för vilket f(x) är växande. Kolla ändpunkterna.

Inspiredbygreatness skrev :

Tack för svaret albiki hur fick du fram koordinationen  (0,1) när kurvan aldrig passerar y=1 i x punkten 0?

(0, 1) är inte koordinater, det är ett intervall.

Yngve skrev :

Inspiredbygreatness skrev :

Tack för svaret albiki hur fick du fram koordinationen  (0,1) när kurvan aldrig passerar y=1 i x punkten 0?

(0, 1) är inte koordinater, det är ett intervall.

Jaha okej men är inte (0,1) samma sak som (x,y)?

Inspiredbygreatness skrev :

Yngve skrev :

(0, 1) är inte koordinater, det är ett intervall.

Jaha okej men är inte (0,1) samma sak som (x,y)?

Nej. Intervallet (0, 1) på x-axeln kan även skrivas 0 < x < 1.

Den är växande på det halvöppna intervallet (0,1] antar jag. Det faktum att den har strikt positiv och strikt negativ derivata på (0,1) resp (1,$\infty$) betyder att den är växande respektive avtagande där, men den är växande även i intervallet som inkluderar ändpunkten såvitt jag kan förstå. Faktum är att det inte finns någon punkt där funktionen börjar växa eftersom det är ett öppet intervall. Den är växande (har positiv derivata) för alla x större än 0 och alla mindre än eller lika med 1. Man skriver det som (0,1] där man skriver (0 för att förklara att 0:an inte ingår, och som 1] för att förklara att 1:an ingår (mindre eller lika med 1).

Yngve skrev :

Inspiredbygreatness skrev :

Tack för svaret albiki hur fick du fram koordinationen  (0,1) när kurvan aldrig passerar y=1 i x punkten 0?

(0, 1) är inte koordinater, det är ett intervall.

Lösningsmängden till f (x) är (-1,1). Dessa x punkter är också ändpunkterna till f(x).  D.v.s.

att $-1\le 0\le 1$ och det är det här intervallet som visar  också från vilken till vilken punkt f (x) växer vilket är $0\le 1$ .Har jag tänkt rätt?

Yngve skrev :

Inspiredbygreatness skrev :

Visa föregående citat

Yngve skrev :

Visa föregående citat

(0, 1) är inte koordinater, det är ett intervall.

Jaha okej men är inte (0,1) samma sak som (x,y)?

Nej. Intervallet (0, 1) på x-axeln kan även skrivas 0 < x < 1.

Ändpunkter med andra ord eller hur?

Inspiredbygreatness skrev :

Lösningsmängden till f (x) är (-1,1).

Nej.

f(x) är en funktion, inte en ekvation. En funktion har ingen "lösningsmängd".

Dessa x punkter är också ändpunkterna till f(x).  D.v.s.

att $-1\le 0\le 1$ och det är det här intervallet som visar  också från vilken till vilken punkt f (x) växer vilket är $0\le 1$ .Har jag tänkt rätt?

Nej.

$-1\leq 0\leq 1$ är inget intervall, det är en matematisk utsaga (som är sann).

Du har antagligen glömt att slänga in ett x här, eller hur?

Dessutom är funktionen f(x) inte definierad för x < 0, så -1 kan inte vara med någonstans.

Gör istället så här (som jag beskrev i mitt första svar):

Funktionen är $f\left(x\right)=\ln \left(2x\right)-0,5x^2$.

Eftersom ln(2x) inte är definierad för $x\le 0$ så är definitionsmängden alla x > 0.

Derivera funktionen: $f\text{'}\left(x\right)=\frac{2}{2x}-0,5·2x=\frac{1}{x}-x$

f(x) är växande där $f\text{'}\left(x\right)\ge 0$.

Olikheten $f\text{'}\left(x\right)\ge 0$ ger att $\frac{1}{x}-x\ge 0$, vilket innebär att $\frac{1}{x}\ge x$.

Eftersom x > 0 så kan vi multiplicera med x, vilket ger oss olikheten $x^2\le 1$ 

Denna olikhet har lösningen $0<x\le 1$

Svar: f(x) är växande då $0<x\le 1.$

Yngve skrev :

Eftersom x > 0 så kan vi multiplicera med x, vilket ger oss olikheten $x^2\le 1$ 

Denna olikhet har lösningen $0<x\le 1$

Svar: f(x) är växande då $0<x\le 1.$

Okej tack fär ditt svar. Men just den här delen av din förklaring förstår jag inte.

Eftersom x är större än 0 så så ska det multipliceras med x. Om det istället skulle ha varit att x < 0 ska man då dividera med x? Hur kommer man fram till att olikheten  $x^2\le 1$

har lösningen $0<\mathrm{x}\le 1?$

Inspiredbygreatness skrev :

Okej tack fär ditt svar. Men just den här delen av din förklaring förstår jag inte.

Eftersom x är större än 0 så så ska det multipliceras med x. Om det istället skulle ha varit att x < 0 ska man då dividera med x?

Förlåt jag var otydlig.

Jag menade att eftersom x är större än 0 så kan vi multiplicera med x utan att vända på olikhetstecknet. Om x hade varit mindre än 0 så skulle vi fortfarande ha kunnat multiplicera med x, men för att olikheten då skulle fortsätta att gälla så hade vi varit tvungna att samtidigt vända på olikhetstecknet.

Hur kommer man fram till att olikheten  $x^2\le 1$

har lösningen $0<\mathrm{x}\le 1?$

Det kan du göra på olika sätt. Det enklaste kanske är grafiskt: Rita grafen till  $y=x^2$ och linjen $y=1$. Lösningsmängden till olikheten $x^2\leq 1$ är identisk med de värden på x för vilka kurvan ligger under eller på linjen.