I vilken takt förändras kubens area när kubens kant är 75cm

jag behöver hjälp med denna uppgift.

volymen av en kub expanderar med en hastighet av 8cm3/min. I vilken takt förändras kubens area när kubens kant är 75 cm?

jag tog fram areans derivata och volymens derivata. Jag förstår inte riktigt hur jag ska använda båda två för att kunna lösa uppgiften.

Notera att du har tecknat volym och area som en funktion av sidlängd. I uppgiften är vi även intresserade av volym och area som en funktion av tid.

Volymen ökar med 8 kubikcentimeter per minut. Om vi låter $t$ beteckna tid i minuter, så kan vi formulera denna bit information som att $\frac{d V}{d t} = 8$ .

Enligt kedjeregeln är $\frac{d V}{d t} = \frac{d V}{d s} \frac{d s}{d t}$ . Vi söker förändringen i sidlängd med avseende på tid, alltså $\frac{d s}{d t}$ , för att kunna beräkna förändringen i area med avseende på tid.

Vi vet att volymen av en kub ges av $V (s) = s^{3}$ , så $\frac{d V}{d s} = V' (s) = 3 s^{2}$ . Vi vet också att sidlängden ska vara $75$ cm³. Stoppar vi in det får vi $\frac{d V}{d s} (75) = V' (75) = 3 {(75)}^{2} = 16875$ . Vi stoppar in våra värden i ekvationen:

$\frac{d V}{d t} = \frac{d V}{d s} \frac{d s}{d t} \Leftrightarrow 8 = 16875 \cdot \frac{d s}{d t} .$ Vi kan då bestämma sidlängdens förändringshastighet med avseende på tid, alltså $\frac{d s}{d t}$ .

Vi vill nu ta reda på förändringshastigheten för kubens area med avseende på tid, alltså $\frac{d A}{d t}$ . Vi vet att $A (s) = 6 s^{2}$ , och att $\frac{d A}{d t} = \frac{d A}{d s} \frac{d s}{d t}$ , så vi har all information vi behöver för att ta fram svaret.

Svara