i vilka punkter är funktionen kontinuerlig

Kontinuitet har en jobbig matematisk definition: 

En funktion f(x) är kontinuerlig då $x=a$ om och endast om$\underset{x\to a^{+}}{\lim } f\left(x\right)=\underset{x\to a^{-}}{\lim } f\left(x\right)=f\left(a\right)$. 

Men i princip betyder detta bara att funktionen sitter ihop överallt. Det får finnas spetsar (exempelvis har funktionen $f\left(x\right)=\left|x^2-4\right|$ två spetsar (x = ±2)), men funktionen får inte "hoppa" (ex. en funktion som är lika med noll överallt, förutom i en punkt, där den är lika med ett) eller vara odefinierad. 

Du kan rita upp funktionen och se om du hittar några punkter där funktionen inte är definierad, eller undersöka om du exempelvis får noll i någon nämnare. Annars kan du luta dig mot att alla polynomfunktioner är kontinuerliga för alla reella tal, och detsamma gäller $f(x)=Ce^{kx}$ för alla reella C och k. :)

Något som man väldigt ofta blandar ihop är att man tro/förväntar sig att kontinuitet betyder att funktionen är deriverbar men så är absolut inte fallet. att $f$ är deriverbar är ett striktare villkor är kontinuitet. exempelvis är funktionen $f$ i inlägg Smutstvätt kontinuerlig men inte deriverbar överallt, specifikt i punkten x=2 och x=-2. =)

Tillägg: 21 sep 2021 21:09

Helt ärligt vet jag inte vad poängen med mitt inlägg är, detta har ju ingenting med derivator och göra. 

Fun fact kanske? 

Hm, om en funktion är deriverbar så är den kontinuerlig. Så det kan ju vara relevant här.

Kan man säga att om definitionsmängden är alla reella tal som i detta fall, att en funktion då är kontinuerlig? det blir ju inte noll i nämnaren någon gång o.s.v.

Nej, det går inte. En funktion är kontinuerlig om den är kontinuerlig i varje ”punkt” i dess definitionsmängd.

Men om en funktion är deriverbar så är den också kontinuerlig. Är våran funktion deriverbar?

Alla sammansättningar av elementära funktioner är kontinuerliga. Det räcker väl?

Tror inte vi diskuterade kontinuitet när jag gick i gymnasiet. Vore intressant att veta hur detta lite tekniska ämne presenteras idag på gymnasienivån. Det är lite svårt att ge ett bra svar om man inte vet på vilken nivå eleverna förväntas svara. Tex känns det som lite mycket att kräva att de skall kunna visa att $\underset{x\to a}{\lim }{e}^{-x}=e^{-a}$.