i vilka punkter är arctan1/x deriverbar (envariabelanalys)

Om en funktion är deriverbar i en punkt existerar derivatan. Om du använder derivatans definition ser du att det inte är några som helst problem med $x=0$.

Du har en diskontinuitet vid $x=0$ hos funktionen men den är fortfarande deriverbar i punkten.

Ebola skrev:

Om en funktion är deriverbar i en punkt existerar derivatan. Om du använder derivatans definition ser du att det inte är några som helst problem med $x=0$.

Du har en diskontinuitet vid $x=0$ hos funktionen men den är fortfarande deriverbar i punkten.

okej men det jag inte förstår är om en funktion inte är definierad i en punkt a, hur kan då funktionen ha en derivata i motsvarande punkt a ?

Jag håller inte med om att funktionen är deriverbar i x=0 eftersom den inte är definierad där. Det går därför inte att beräkna f(0) i derivatans definition.

Maremare skrev:

okej men det jag inte förstår är om en funktion inte är definierad i en punkt a, hur kan då funktionen ha en derivata i motsvarande punkt a ?

Denna funktion är ganska speciell. 

Vad är arctan(1/x) om x = 0? Vad ger gränsvärden? Testade du derivatans definition?

Jag svarade utan att kontrollera noggrannare själv och det kan vara som Parveln säger men samtidigt har jag starkt för mig att $f(x)= arctan(1/x)$ är deriverbar. Jag minns inte varför just nu men kan återkomma om ingen annan ger ett definitivt svar. Oavsett kan du tills vidare fundera på varför Wolfram säger att den är det:

Is arctan(1/x) differentiable?

$f\left(x\right)=arc\tan \left(\frac{1}{x}\right)=\pm \frac{\pi }{2}-arc\tan \left(x\right)$

"- arctan(x)" och även f(x) är då deriverbara, även om f(x) råkar vara diskontinuerlig

Jag tror den omskrivningen enbart gäller för $x \neq 0$. Från wikipedia-artikeln över trigonometriska identiteter:

Definitionen av deriverbarhet kräver att diskontinuiteter inte existerar och att funktionen är definierad i punkterna.  I detta fall hoppar tangenten från att vara $\displaystyle y = -x - \frac{\pi}{2}$ till att vara $\displaystyle y = -x + \frac{\pi}{2}$ vid $x=0$. Detta i sig ger också att funktionen inte bör vara deriverbar då den måste vara lokalt approximerbar som en linjär funktion. 

Din fråga:

dvs kollar man alltid först för vilka x en funktion är definierad och sen deriverar och kollar för vilka x derivatan är definierad och sen kombinerar de två intervallen?

Funktionen ska enbart ha en tangent i punkten. Jag vidhåller att det är något märkligt med just $arctan(1/x)$ men vi släpper det...

Hej!

Intressant funktion!

En tanke som bara dök upp. (Rätta mig ifall jag har fel)

Om vi derivera arctan(1/x) = {använt Kedjeregeln} = $\frac{1}{1+{\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^2} *(-\frac{1}{x^2}) =\hspace{0.17em}-\frac{x^2}{x^2(x^2+1)}$

Min tanke här är om man kan förenkla

$\frac{-x^2}{x^2(x^2+1)}$=$\frac{-1}{(x^2+1)}$

utan att ge ett villkor för vilka tal x får vara. I fallet om x = 0 så kommer vi att få $\frac{0}{0}$alltså
$\frac{0}{0}*\frac{-1}{(x^2+1)} Detta är nonsens$

Däremot så gäller likheten enbart för $x\ne 0$.

Min slutsats är att likheten $\frac{d}{dx}$ arctan(1/x) = $\frac{-1}{(1+x^2)}$

gäller enbart vid $x\ne 0$, därav existerar derivatan inte vid x=0. 

Vad använder din bok för definition av deriverbar?

Micimacko skrev:

Vad använder din bok för definition av deriverbar?

jag vet inte exakt om jag ska vara ärlig jag har mest gått på föreläsningar etc

men denna är inte tagen från någon bok vad jag vet utan det är från en stencil med uppgift vi ska göra, det finns inget facit så därav kan jag ej kolla.

så jag vet inte riktigt hur jag ska ställa mig till detta då det inte verkar vara uppenbart om den är deriverbar i alla punkter eller inte. 

räcker det alltså inte med att motivera att funktionen  inte är deriverbar i punkten x=0 då den inte är definierad där?

Jag har nu tagit reda på varför Wolfram Alpha säger att den är differentierbar. Den gör det för att den tolkar "Is arctan(1/x) differentiable" som att man menar följande:

$\frac{d}{dx}\left(\arctan \left(\frac{1}{x}\right)\right)=\left\{\begin{array}{cc}-\frac{1}{x^2+1}& \mathrm{om} x\ne 0\\ -1& \mathrm{om} x=0\end{array}\right.$

Detta kan kontrolleras genom att helt enkelt skriva "Derivative of arctan(1/x) at x = 0" vilket ger:

Derivative of arctan(1/x) at x =0

Detta är användbart inom fysik och ingenjörsteknik då rent matematiska så kallade "teknikaliteter" (uttryck från maskiningenjör på Scania) oftast kan ignoreras.

Ebola skrev:

Jag har nu tagit reda på varför Wolfram Alpha säger att den är differentierbar. Den gör det för att den tolkar "Is arctan(1/x) differentiable" som att man menar följande:

$\frac{d}{dx}\left(\arctan \left(\frac{1}{x}\right)\right)=\left\{\begin{array}{cc}-\frac{1}{x^2+1}& \mathrm{om} x\ne 0\\ -1& \mathrm{om} x=0\end{array}\right.$

Detta kan kontrolleras genom att helt enkelt skriva "Derivative of arctan(1/x) at x = 0" vilket ger:

Derivative of arctan(1/x) at x =0

Detta är användbart inom fysik och ingenjörsteknik då rent matematiska så kallade "teknikaliteter" (uttryck från maskiningenjör på Scania) oftast kan ignoreras.

aa men förstår ändå inte för om man kolla på grafen till arctan1/x så kan jag inte förstå hur derivatan skulle se ut i x=0

det finns ju ingen lutning i x=0

Maremare skrev:

Micimacko skrev:

Vad använder din bok för definition av deriverbar?

räcker det alltså inte med att motivera att funktionen  inte är deriverbar i punkten x=0 då den inte är definierad där?

Det du säger här är att f saknar ett gränsvärde vid x=0, alltså att $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)$, existerar inte alltså är funktionen inte kontinuerlig i x=0 och om den inte är kontinuerlig i den punkten så kan du inte derivera i den punkten eftersom

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f\left(0\right)}{h}, för x = 0$ inte kommer att existera och det kommer ifrån att f(0) inte är definierad.

Maremare skrev:

aa men förstår ändå inte för om man kolla på grafen till arctan1/x så kan jag inte förstå hur derivatan skulle se ut i x=0

det finns ju ingen lutning i x=0

Där har du plottat $\displaystyle \frac{arctan(1)}{x}$ inte $arctan(1/x)$.

Ebola skrev:

Maremare skrev:

aa men förstår ändå inte för om man kolla på grafen till arctan1/x så kan jag inte förstå hur derivatan skulle se ut i x=0

det finns ju ingen lutning i x=0

Där har du plottat $\displaystyle \frac{arctan(1)}{x}$ inte $arctan(1/x)$.

oj blev lite fel mer parentesen

fundering kvarstår: ser inte hur det kan finnas en derivata i punkten x = 0

Maremare skrev:

oj blev lite fel mer parentesen

fundering kvarstår: ser inte hur det kan finnas en derivata i punkten x = 0

Den finns inte. Däremot finns ett gränsvärde som har samma värde från båda riktningar. Som jag även skrev i detta inlägg får du två olika tangenter i punkten och båda har samma lutning men olika skärning med y-axeln.

Om du funderar en stund på vad invers tangens är för något förstår du säkert att om närliggande katet går mot noll men motstående är konstant går värdet för invers tangens mot $\pi/2$. Problemet är att när du definierar funktionen med en värdemängd som är $V_{f}=(-\pi/2, \pi/2)$ blir gränsvärdet olika beroende på om du kommer från positiv eller negativ sida.

Ebola skrev:

Maremare skrev:

oj blev lite fel mer parentesen

fundering kvarstår: ser inte hur det kan finnas en derivata i punkten x = 0

Den finns inte. Däremot finns ett gränsvärde som har samma värde från båda riktningar. Som jag även skrev i detta inlägg får du två olika tangenter i punkten och båda har samma lutning men olika skärning med y-axeln.

Om du funderar en stund på vad invers tangens är för något förstår du säkert att om närliggande katet går mot noll men motstående är konstant går värdet för invers tangens mot $\pi/2$. Problemet är att när du definierar funktionen med en värdemängd som är $V_{f}=(-\pi/2, \pi/2)$ blir gränsvärdet olika beroende på om du kommer från positiv eller negativ sida.

okej okej! men jag tänker på gränsvärde då x går mot 0 har väl inte samma värde, eller har jag förstått det fel?

för kollar man på grafen så får man väl olika gränsvärden om man kommer från +- mot noll?

om uppgiften endast skriver: "Derivera f(x) = arctanx(1/x)  samt avgör för vilka  x som derivatan existerar" så kan jag lösa f'(x) och motivera att derivatan existerar för alla x skilt från 0 eftersom arctan(1/x) inte är definierad i x = 0 samt att höger och vänster gränsvärde är olika då x=0

kan man motivera det så eller är något i det jag skrev fel?

Du kan motivera det så då faktumet att funktionen inte är definierad i punkten ska vara tillräckligt. Derivatan är inte heller definierad i punkten så det enklaste är väl att härleda den som TuananhNguyen gjorde.

Ebola skrev:

Du kan motivera det så då faktumet att funktionen inte är definierad i punkten ska vara tillräckligt. Derivatan är inte heller definierad i punkten så det enklaste är väl att härleda den som TuananhNguyen gjorde.

TACK!