4 svar

953 visningar

I en låda har Anton 4 röda, 6 blå och 8 vita strumpor

I en låda har Anton 4 röda, 6 blå och 8 vita strumpor huller om buller. Han tar slumpmässigt (utan återläggning) strumpor ur lådan tills han fått två av samma färg.

a) Bestäm sannolikheterna för att han behöver dra två, tre respektive fyra strumpor.

b) Bestäm de betingade sannolikheterna för att han får ett rött, blått respektive vitt par givet att han bara behövde dra två strumpor.

c) Bestäm de betingade sannolikheterna för att han får ett rött, blått respektive vitt par givet att han behövde dra fyra strumpor.

a) och b) har jag löst och fick fram P("Fyra drag" = 1 - P("Två drag") - P("Tre drag") i och med det faktum att om vi har att P(Antal drag innan par ≤ 4) = 1. Om vi har dragit tre olika och sen dra en fjärde gång så är sannolikhet att få ett par 1. För övriga fall har jag tänkt att P("Rött på X drag"U"Blått på X drag"U"Vitt på X drag") = P("Rött på X drag") + P("Blått på X drag") + P("Vitt på X drag"). Finns endast 1 sätt att få Rött/Blått/Vit på två drag och det finns två sätt vardera att få rött/blått/vitt par på tre drag.

När jag försöker räkna fram P("Ett par på fyra drag") = P("Rött på 4 drag") + P("Blått på 4 drag") + P("Vitt på 4 drag") får jag det inte att stämma med det svar jag har fått i b).

$F ö r P (" R ö t t p a r p å f y r a p a r ") h a r v i : P ({R_{1}}^{C} \cap {R_{2}}^{C} \cap R_{3} \cap R_{4}) + P ({R_{1}}^{C} \cap R_{2} \cap {R_{3}}^{C} \cap R_{4}) + P (R_{1} \cap {R_{2}}^{C} \cap {R_{3}}^{C} \cap R_{4}) = 3 * P ({R_{1}}^{C} \cap {R_{2}}^{C} \cap R_{3} \cap R_{4}) = 3 * P ({R_{1}}^{C}) * P ({R_{2}}^{C} | {R_{1}}^{C}) * P (R_{3} | {R_{1}}^{C} \cap {R_{2}}^{C}) * P (R_{4} | {R_{1}}^{C} \cap {R_{2}}^{C} \cap R_{3}) = 3 * \frac{14}{18} * \frac{13}{17} * \frac{4}{16} * \frac{3}{15} = \frac{91}{1020} M o t s v a r a n d e f ö r P (" B l å t t p a r p å f y r a d r a g ") = 3 * P ({B_{1}}^{C} \cap {B_{2}}^{C} \cap B_{3} \cap B_{4}) = 3 * P ({B_{1}}^{C}) * P ({B_{2}}^{C} | {B_{1}}^{C}) * P (B_{3} | {B_{1}}^{C} \cap {B_{2}}^{C}) * P (B_{4} | {B_{1}}^{C} \cap {B_{2}}^{C} \cap B_{3}) = 3 * \frac{12}{18} * \frac{11}{17} * \frac{6}{16} * \frac{5}{15} = \frac{11}{68} O c h s l u t l i g e n, m o t s v a r a n d e f ö r P (" V i t t p a r p å f y r a d r a g ") = 3 * P ({V_{1}}^{C} \cap {V_{2}}^{C} \cap V_{3} \cap V_{4}) = 3 * P ({V_{1}}^{C}) * P ({V_{2}}^{C} | {V_{1}}^{C}) * P (V_{3} | {V_{1}}^{C} \cap {V_{2}}^{C}) * P (V_{4} | {V_{1}}^{C} \cap {V_{2}}^{C} \cap V_{3}) = 3 * \frac{10}{18} * \frac{9}{17} * \frac{8}{16} * \frac{7}{15} = \frac{7}{34} D e s s a t r e s k a s u m m e r a t i l l 4 / 17 v i l k e t j a g f i c k t i l l s a n n o l i k h e t e n f ö r P (" E t t o a r p å f y r a d r a g ") . V a r i m i n a b e r ä k n i n g a r g ö r a j a g f e l ?$

Hm om vi säger att P("Fyra drag") = P(4) etc. mest för att slippa skriva så mycket så stämmer det att på a) så är P(4) = 1 - (P(2) + P(3))

Men för att få fram P(4) behöver vi först P(2) och P(3).

(a)

$P (2) = \frac{4}{18} \cdot \frac{3}{17} + \frac{6}{18} \cdot \frac{5}{17} + \frac{8}{18} \cdot \frac{7}{17} = 49 / 153 \approx 0.320$

Första termen står för sannolikheten att dra två röda, andra för två blåa och sista för två vita.

Om vi nu räknar $P (3)$ måste vi tänka exempelvis för röd: "röd, inte en röd, röd" men även "inte en röd, röd, röd" på alla tre färgerna, därav en faktor två på alla termer nedan. Om man läser första termen i uttrycket nedan står det "röd, inte röd, röd", men en faktor 2 tar hand om det andra fallet också (varför skriva onödigt mycket).

$P (3) = (\frac{4}{18} \cdot \frac{14}{17} \cdot \frac{3}{16} + \frac{6}{18} \cdot \frac{12}{17} \cdot \frac{5}{16} + \frac{8}{18} \cdot \frac{10}{17} \cdot \frac{7}{16}) \cdot 2 = \frac{4}{9} \approx 0.444$

Eftersom vi beräknat $P (3)$ och $P (2)$ kan vi nu beräkna $P (4)$ enligt

$P (4) = 1 - (P (2) + P (3)) = 1 - (\frac{49}{153} + \frac{4}{9}) = \frac{4}{17} \approx 0.235$

(b)

Nu tänker jag låta P("rött par givet att behöva dra två strumpor") = $P (r r | 2)$ etc.

$P (r r | 2) = \frac{P (r r \cap 2)}{P (2)} = \frac{\frac{4}{18} \cdot \frac{3}{17}}{0.32} \approx 0.123$

På liknande sätt får vi

$P (b b | 2) = \frac{P (b b \cap 2)}{P (2)} = \frac{\frac{6}{18} \cdot \frac{5}{17}}{0.32} \approx 0.306 P (v v | 2) = \frac{P (v v \cap 2)}{P (2)} = \frac{\frac{8}{18} \cdot \frac{7}{17}}{0.32} \approx 0.572$

(c)

Fortsätt på liknande sätt som i (b).

tensor skrev :
Hm om vi säger att P("Fyra drag") = P(4) etc. mest för att slippa skriva så mycket så stämmer det att på a) så är P(4) = 1 - (P(2) + P(3))
Men för att få fram P(4) behöver vi först P(2) och P(3).
(a)
$P (2) = \frac{4}{18} \cdot \frac{3}{17} + \frac{6}{18} \cdot \frac{5}{17} + \frac{8}{18} \cdot \frac{7}{17} = 49 / 153 \approx 0.320$
Första termen står för sannolikheten att dra två röda, andra för två blåa och sista för två vita.
Om vi nu räknar $P (3)$ måste vi tänka exempelvis för röd: "röd, inte en röd, röd" men även "inte en röd, röd, röd" på alla tre färgerna, därav en faktor två på alla termer nedan. Om man läser första termen i uttrycket nedan står det "röd, inte röd, röd", men en faktor 2 tar hand om det andra fallet också (varför skriva onödigt mycket).
$P (3) = (\frac{4}{18} \cdot \frac{14}{17} \cdot \frac{3}{16} + \frac{6}{18} \cdot \frac{12}{17} \cdot \frac{5}{16} + \frac{8}{18} \cdot \frac{10}{17} \cdot \frac{7}{16}) \cdot 2 = \frac{4}{9} \approx 0.444$
Eftersom vi beräknat $P (3)$ och $P (2)$ kan vi nu beräkna $P (4)$ enligt
$P (4) = 1 - (P (2) + P (3)) = 1 - (\frac{49}{153} + \frac{4}{9}) = \frac{4}{17} \approx 0.235$
(b)
Nu tänker jag låta P("rött par givet att behöva dra två strumpor") = $P (r r | 2)$ etc.
$P (r r | 2) = \frac{P (r r \cap 2)}{P (2)} = \frac{\frac{4}{18} \cdot \frac{3}{17}}{0.32} \approx 0.123$
På liknande sätt får vi
$P (b b | 2) = \frac{P (b b \cap 2)}{P (2)} = \frac{\frac{6}{18} \cdot \frac{5}{17}}{0.32} \approx 0.306 P (v v | 2) = \frac{P (v v \cap 2)}{P (2)} = \frac{\frac{8}{18} \cdot \frac{7}{17}}{0.32} \approx 0.572$
(c)
Fortsätt på liknande sätt som i (b).

Förlåt, vill inte verka dryg eller så men har du ens läst mitt inlägg? Jag har löst a) och b) så känns ju lite onödigt att du räknar ut a) och b) åt mig. Det är c) jag har problem med.

Fair enough.

Det du gör fel i dina beräkningar är att du, för exempelvis, i $P (4 \cap r r)$ beräknar det som följande (ER = Ej Röd, R = Röd etc):

$P (4 \cap r r) = P (" E R, E R, R, R ") + P (" E R, R, E R, R ") + P (" R, E R, E R R ")$ .

Men problemet är att om han tar sockarna i den ordningen står ju ER för antingen vit eller blå socka. Enligt din sekvens skulle han kunna ta exempelvis, i första termen, "B*B*R*R". B är ju ER, så enligt din sekvens är den där ok. Men den sekvensen passar inte in i $P (4 \cap r r)$ eftersom direkt han får två blå sockar (eller två lika för den delen) så är han nöjd. Den sekvensen ("B*B*R*R") hade snarare passat in i kategorin $P (2)$ .

Om du nu vill prova själv baserat på mitt lilla hint ovan, att det är skillnad på ER och ER, rekommenderar jag dig att inte läsa nedanstående. Hur som helst, om du inte kan hålla dig så fortsätt att läsa nedan.

Vi återgår nu till hur man kan beräkna $P (4 \cap r r)$ , för om du förstår det, då förstår du också hur man beräknar $P (4 \cap b b)$ och $P (4 \cap v v)$ . Trots allt så ges ju den betingade sannolikheten av $P (r r | 4) = \frac{P (4 \cap r r)}{P (4)}$ , faktum är att den betingade sannolikheten är definierad så. Det är den vi letar efter i (c).

För att begripa oss på $P (4 \cap r r)$ kan vi konstruera en rad slumpmässiga utfall och försöka identifiera varje utfall (sätta varje utfall i en kategori så som $P (2), P (3), P (4), P (4 \cap r r), P (3 \cap r r) e t c$ ), för det är ju trots allt det Anton gör när han drar en socke.

På fyra slumpmässiga sockar skulle Anton kunna få dessa utfall

VBBV $- > P (3), P (3 \cap b b)$

RRVR $- > P (2), P (2 \cap r r)$

RVBR $- > P (4), P (4 \cap r r)$

VRVR $- > P (3), P (3 \cap v v)$

BBRR $- > P (2), P (2 \cap b b)$

Om vi nu tänker efter lite så skulle det sista utfallet falla inom ditt tankesätt att ER*ER*R*R hör till $P (4 \cap r r)$ . Men det gör det inte, för att Anton är nöjd för att han fick två blå istället. Om vi kollar på utfallet "RVBR" ser vi att det faller in i vår kategori eftersom V och B är ER, men det är skillnad på ER och ER. Poängen är att vi MÅSTE dra en V och B kula för att utfallet ska kategoriseras inom $P (4 \cap r r)$ . Så om vi kollar på alla tänkbara utfall för den kategorin så har vi

RVBR, RBVR och VRBR, BRVR och VBRR, BVRR.

Notera att han kan dra V och B i två olika ordningar i varje utfall.

Om vi nu beräknar $P (4 \cap r r)$ får vi

$P (4 \cap r r) = R V B R + R B V R + V R B R + B R V R + V B R R + B V R R = \frac{4}{18} \cdot \frac{8}{17} \cdot \frac{6}{16} \cdot \frac{3}{15} + \frac{4}{18} \cdot \frac{6}{17} \cdot \frac{8}{16} \cdot \frac{3}{15} + + \frac{8}{18} \cdot \frac{4}{17} \cdot \frac{6}{16} \cdot \frac{3}{15} + \frac{6}{18} \cdot \frac{4}{17} \cdot \frac{8}{16} \cdot \frac{3}{15} + + \frac{8}{18} \cdot \frac{6}{17} \cdot \frac{4}{16} \cdot \frac{3}{15} + \frac{6}{18} \cdot \frac{8}{17} \cdot \frac{4}{16} \cdot \frac{3}{15} = 6 * R V B R = 0.0471$

(Det där är en lång räkning men i slutändan ser vi att det är möjligt att förenkla den lite)

Om vi nu återgår till den betingade sannolikheten ser vi att

$P (r r | 4) = \frac{P (4 \cap r r)}{P (4)} = \frac{0.0471}{0.235} \approx 0.2$

Om du nu fortsätter att beräkna $P (4 \cap b b)$ etc på liknande sätt kommer du se att de summerar till 4/17, vilket är sannolikheten för P(4). Om vi tänker efter lite så summerar ditt tankesätt till MER än 4/17, det betyder att du inkluderar något du inte borde. Exempelvis RVVR när den skulle kategoriserats som P(3).

Hoppas jag kunde hjälpa dig, om inte så får du gärna säga till om något är oklart.

Hej Moo,

Jag tycker att du krånglar till det lite för dig. När Anton har lyckats dra tre strumpor utan att bli nöjd har han 3 röda, 5 blå och 7 vita kvar (totalt 15 strumpor). När han drar ytterligare en strumpa är de betingade sannolikheterna alltså

$P(R|4)=\frac{3}{15}, P(B|4)=\frac{5}{15},P(V|4)=\frac{7}{15},$

Svara

Visa senaste svar