I en bakteriekultur växer antalet bakterier N med tiden t i timmar enligt funktionen

För att kunna beräkna e upphöjt till Någonting, så måste Någonting vara utan enhet ("ha enhet 1"). Man kan t.ex. beräkna e upphöjt till 4, men inte e upphöjt till 4 meter.

kt måste alltså vara utan enhet. Om då t har enhet timme, så måste k ha vilken enhet?

Svaret i b) är mycket riktigt 12000 gånger k.

På fråga c) gäller det att tänka fram rätt värde på e^kt

Bubo skrev:

För att kunna beräkna e upphöjt till Någonting, så måste Någonting vara utan enhet ("ha enhet 1"). Man kan t.ex. beräkna e upphöjt till 4, men inte e upphöjt till 4 meter.

kt måste alltså vara utan enhet. Om då t har enhet timme, så måste k ha vilken enhet?

Svaret i b) är mycket riktigt 12000 gånger k.

På fråga c) gäller det att tänka fram rätt värde på e^kt

Ang fråga C. 

12000 brde vara antal bakterier från början, alltså blir det fördubblade antalet 24000. Då ska uträkningen på ekvationen vara något i stil med 12000 * e^kt = 24000. Kanske inte helt korrekt, men kanske på rätt spår eller? 

Är svaret på fråga a korrekt? 

Bubo skrev:

För att kunna beräkna e upphöjt till Någonting, så måste Någonting vara utan enhet ("ha enhet 1"). Man kan t.ex. beräkna e upphöjt till 4, men inte e upphöjt till 4 meter.

kt måste alltså vara utan enhet. Om då t har enhet timme, så måste k ha vilken enhet?

Svaret i b) är mycket riktigt 12000 gånger k.

På fråga c) gäller det att tänka fram rätt värde på e^kt

Vänta nu, på fråga b visst är det antalet bakterier som det ökat med på 10 h? 

intealltidsåsmart skrev:

Bubo skrev:

För att kunna beräkna e upphöjt till Någonting, så måste Någonting vara utan enhet ("ha enhet 1"). Man kan t.ex. beräkna e upphöjt till 4, men inte e upphöjt till 4 meter.

kt måste alltså vara utan enhet. Om då t har enhet timme, så måste k ha vilken enhet?

Svaret i b) är mycket riktigt 12000 gånger k.

På fråga c) gäller det att tänka fram rätt värde på e^kt

Ang fråga C. 

12000 brde vara antal bakterier från början, alltså blir det fördubblade antalet 24000. Då ska uträkningen på ekvationen vara något i stil med 12000 * e^kt = 24000. Kanske inte helt korrekt, men kanske på rätt spår eller? 

Är svaret på fråga a korrekt? 

hur får man ut värdet på e^kt?

intealltidsåsmart skrev:

Ang fråga C. 

12000 brde vara antal bakterier från början, alltså blir det fördubblade antalet 24000. Då ska uträkningen på ekvationen vara något i stil med 12000 * e^kt = 24000. Kanske inte helt korrekt, men kanske på rätt spår eller? 

Ja, korrekt. Du kan ju lösa ekvationen 12000 * A = 24000. Vad är A?

Är svaret på fråga a korrekt? 

Ja.

intealltidsåsmart skrev:

Bubo skrev:

För att kunna beräkna e upphöjt till Någonting, så måste Någonting vara utan enhet ("ha enhet 1"). Man kan t.ex. beräkna e upphöjt till 4, men inte e upphöjt till 4 meter.

kt måste alltså vara utan enhet. Om då t har enhet timme, så måste k ha vilken enhet?

Svaret i b) är mycket riktigt 12000 gånger k.

På fråga c) gäller det att tänka fram rätt värde på e^kt

Vänta nu, på fråga b visst är det antalet bakterier som det ökat med på 10 h? 

Nej, det är ökningen just nu.

Ungefär samma skillnad som att du tittar på bilens hastighetsmätare just nu för att veta din fart - du tänker inte att du har åkt 200 km på fyra timmar och säger "nu håller jag 50 km/h".

Det är alltså N'(t) du ska räkna fram.

Bubo skrev:

intealltidsåsmart skrev:

Ang fråga C. 

12000 brde vara antal bakterier från början, alltså blir det fördubblade antalet 24000. Då ska uträkningen på ekvationen vara något i stil med 12000 * e^kt = 24000. Kanske inte helt korrekt, men kanske på rätt spår eller? 

Ja, korrekt. Du kan ju lösa ekvationen 12000 * A = 24000. Vad är A?

Är svaret på fråga a korrekt? 

Ja.

A blir då = 2. Då ska e^kt=2?

Men sen då? Vet inte hur man får ut t. 

e^in(1,162)*t = 2

Bubo skrev:

intealltidsåsmart skrev:

Visa föregående citat

Bubo skrev:

För att kunna beräkna e upphöjt till Någonting, så måste Någonting vara utan enhet ("ha enhet 1"). Man kan t.ex. beräkna e upphöjt till 4, men inte e upphöjt till 4 meter.

kt måste alltså vara utan enhet. Om då t har enhet timme, så måste k ha vilken enhet?

Svaret i b) är mycket riktigt 12000 gånger k.

På fråga c) gäller det att tänka fram rätt värde på e^kt

Vänta nu, på fråga b visst är det antalet bakterier som det ökat med på 10 h? 

Nej, det är ökningen just nu.

Ungefär samma skillnad som att du tittar på bilens hastighetsmätare just nu för att veta din fart - du tänker inte att du har åkt 200 km på fyra timmar och säger "nu håller jag 50 km/h".

Det är alltså N'(t) du ska räkna fram.

Men vadå. Blir tillväxhastigheten 8086,25 km/h?? Eller va? Vad ska jag använda för enhet..... 

intealltidsåsmart skrev:

A blir då = 2. Då ska e^kt=2?

Men sen då? Vet inte hur man får ut t. 

e^in(1,162)*t = 2

$2=e^{\ln \left(2\right)}$

Bubo skrev:

För att kunna beräkna e upphöjt till Någonting, så måste Någonting vara utan enhet ("ha enhet 1"). Man kan t.ex. beräkna e upphöjt till 4, men inte e upphöjt till 4 meter.

kt måste alltså vara utan enhet. Om då t har enhet timme, så måste k ha vilken enhet?

Svaret i b) är mycket riktigt 12000 gånger k.

På fråga c) gäller det att tänka fram rätt värde på e^kt

kt måste alltså vara utan enhet. Om då t har enhet timme, så måste k ha vilken enhet?

Svaret i b) är mycket riktigt 12000 gånger k.

Det skrev jag igår, och det får du fram enheten ur.

Bubo skrev:

Bubo skrev:

För att kunna beräkna e upphöjt till Någonting, så måste Någonting vara utan enhet ("ha enhet 1"). Man kan t.ex. beräkna e upphöjt till 4, men inte e upphöjt till 4 meter.

kt måste alltså vara utan enhet. Om då t har enhet timme, så måste k ha vilken enhet?

Svaret i b) är mycket riktigt 12000 gånger k.

På fråga c) gäller det att tänka fram rätt värde på e^kt

kt måste alltså vara utan enhet. Om då t har enhet timme, så måste k ha vilken enhet?

Svaret i b) är mycket riktigt 12000 gånger k.

 

Det skrev jag igår, och det får du fram enheten ur.

Jag har ingen aning

Bubo skrev:

intealltidsåsmart skrev:

A blir då = 2. Då ska e^kt=2?

Men sen då? Vet inte hur man får ut t. 

e^in(1,162)*t = 2

$2=e^{\ln \left(2\right)}$

Nu hänger jag inte med alls, vad är det som händer här? Hur ska man använda det för att räkna ut vad t är

Om $e^A=\hspace{0.17em}{e}^B$ så måste A vara lika med B.

I det här fallet blir det $e^{\ln (1.162)·t}=e^{\ln \left(2\right)}$

och alltså $\ln (1.162)·t=\ln \left(2\right)$

Ett exempel med enheter: Om A har enheten m/s och B har enheten s, så får A*B enheten (m/s)*s som blir m.

I det här fallet ska t som har enheten timme multipliceras med något så att produkten blir enhetslös ("enhet 1", som man kan säga).

$timme·\frac{1}{timme}=\hspace{0.17em}1$

Vi skall alltså multiplicera med något som har enhet (1/timme). k har enhet (1/timme) eller "per timme" som kanske låter bättre.

Bubo skrev:

Om $e^A=\hspace{0.17em}{e}^B$ så måste A vara lika med B.

I det här fallet blir det $e^{\ln (1.162)·t}=e^{\ln \left(2\right)}$

och alltså $\ln (1.162)·t=\ln \left(2\right)$

Då blir t = 4.62 (på ett ungefär)

Bubo skrev:

Ett exempel med enheter: Om A har enheten m/s och B har enheten s, så får A*B enheten (m/s)*s som blir m.

I det här fallet ska t som har enheten timme multipliceras med något så att produkten blir enhetslös ("enhet 1", som man kan säga).

$timme·\frac{1}{timme}=\hspace{0.17em}1$

Vi skall alltså multiplicera med något som har enhet (1/timme). k har enhet (1/timme) eller "per timme" som kanske låter bättre.

Jag fattar fortfarande inte. k är väll själva förändringen eller?

Inte riktigt, men k hör ihop med förändringen.

Förändringen, som man ska räkna ut i b),

• är tillväxthastigheten, antal nya bakterier per tidsenhet just då
• är derivatan av antalet bakterier, derivatan av N(t)
• är lutningen på N(t)-kurvan

och eftersom N(t) är en funktion som innehåller en konstant k, så kommer derivatans värde att bero av k.

Här är några olika funktioner $e^{k·t}$ uppritade, med olika värden på k.

Just de funktionerna jag ritade har allihop negativt värde på k, så det blir en minskning med tiden. I den här uppgiften är det tvärtom så att N(t) växter med tiden. k är större än noll, precis som du har räknat fram.

Nytt försök med bilden i förrförra inlägget:

Bubo skrev:

Inte riktigt, men k hör ihop med förändringen.

Förändringen, som man ska räkna ut i b),

• är tillväxthastigheten, antal nya bakterier per tidsenhet just då
• är derivatan av antalet bakterier, derivatan av N(t)
• är lutningen på N(t)-kurvan

och eftersom N(t) är en funktion som innehåller en konstant k, så kommer derivatans värde att bero av k.

Här är några olika funktioner $e^{k·t}$ uppritade, med olika värden på k.

Så förändringen är e^{^k*t}? 

Nej. Du hade räknat alldeles korrekt redan från början, med k=ln(1.62), ungefär 0.150

    Eftersom att derivatan av e^kt är  k*e^kt så kan man räkna enligt följande: 

    12000 * In(1,162)e^10*In(1,162) = 8086,25

Det jag svarade på i ett senare inlägg gällde enheten.

k har enheten "per timme", så svaret är 8086.25 per timme. Just vid tidpunkten 10timmar växer antalet med 8086 per timme.

Bubo skrev:

Nej. Du hade räknat alldeles korrekt redan från början, med k=ln(1.62), ungefär 0.150

    Eftersom att derivatan av e^kt är  k*e^kt så kan man räkna enligt följande: 

    12000 * In(1,162)e^10*In(1,162) = 8086,25

 

Det jag svarade på i ett senare inlägg gällde enheten.

k har enheten "per timme", så svaret är 8086.25 per timme. Just vid tidpunkten 10timmar växer antalet med 8086 per timme.

Okej då hänger jag med. 

Men c, 

12000 * e^In(1.162)t = 24000

e^In(1.162)t=e^In(2)

ln(1.162)⋅t=ln(2)

t = 4.62