Hyperreella tal och standardanalys

Spännande funderingar. Jag läste en bok som hette On Numbers and Games av John Conway. Jättespännande de två första kapitlen, sedan var jag lost, det var för tunn luft på de höjderna.

Bara en liten kommentar, du kallar dem hittepåtal. Men alla tal är ju hittepå. Vi har hittat på 1, 2, 3 också. Fast vi omges av så naturliga tillämpningar att vi tycker de är verkliga. Men blandar du 1 liter sprit med 1 liter vatten får du inte 1+1 liter blandning, molekylerna ordnar sig ekonomiskt så att det blir litet mindre än 2 liter. Om vår verklighet vore att bara blanda sprit och vatten (inget jag önskar) så skulle vi kanske tycka att 1+1 = 2 vore en hyfsad approximation.

Komplexa tal med roten ur minus 1 väckte såklart misstro när de lanserades, men de visade sig användbara, så vi köpte det paketet. Och negativa tal mötte nästan större motstånd, tidigare hade man inte –100 kr på kontot utan en Skuld på +100 kr. Upptäckten att roten ur två inte kunde skrivas som ett heltalsbråk vållade kris bland Pythagoras lärjungar, den som kom på beviset påstås ha kastats i havet för att inte upptäckten skulle spridas. Men det kan vara en skröna.

Det avgörande är alltså om man kan bygga ett axiomsystem som är motsägelsefritt. Gör man det träder även de hyperreella talen in i matematikens finrum. Men någon annan får guida dig, jag är för okunnig.

Jo, du har en poäng där!

Jag bara hoppas att det finns något sätt man kan utvidga talsystemet på så att sådana här tal fungerar utan motsägelser. Avskyr att beräkna höger- och vänstergränsvärden på andra sätt, men detta sätt verkar som sagt inte helt koscher.

Jag har dessutom en tanke om hur man ska behandla fall där båda ingående tal är hyperreella, men den kanske faller pladask om man försöker utvidga logiken vidare. 

Om vi betraktar en funktion:

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2-x}$, och vi skulle vilja beräkna  $\displaystyle \lim_{x \to 2^{+}} f(x)=\frac{1}{4^{+}-2^{+}}$.

Här vet vi ju att $x=2$ ingår i domänen, så vi vet att nämnaren här ska bli $2$. Så om man endast utgår från detta och liknande fall verkar det okej att påstå att $a^{+}-b^{+}=a-b$.

Och frågan är sedan om man ska anta att vanlig algebra ska gälla för dessa infinitesimaler. De är ju trots allt "reella" så det vore inte helt ologiskt. Om vi låter $\epsilon$ följa vanlig algebra åtminstone till en början och skulle vilja utveckla t.ex. $\displaystyle (4+\epsilon)^2$, då skulle vi få $\displaystyle 16+8\epsilon+{\epsilon}^2$, men vi vet intuitivt att detta ska vara samma sak som $16^{+}$. Så då tänker vi att:

$\displaystyle 16+8\epsilon+{\epsilon}^2=16^{+}$

Detta verkar skapa några rätt skumma men ändå inte helt ologiska egenskaper för talet $\epsilon$:

$\displaystyle\epsilon \cdot n=\epsilon$

$\displaystyle \epsilon^ n=\epsilon$, $\displaystyle n\in \mathbb{R}\setminus\{ 0 \}$

I detta inlägg vill jag försöka ge lite striktare definitioner för talet $\epsilon$ och börja skapa ett ramverk för aritmetik med tal som har en det jag kallar för hyperreell del. Jag kommer utgå från att vanlig algebra i stora drag gäller för $\epsilon$, samt hur räkneoperationer borde fungera för att de ska gå ihop med matematik vi redan vet stämmer. 

Vi börjar med att definiera talet $\epsilon$:

$\displaystyle \forall r\in \mathbb{R^+}: \displaystyle 0< \epsilon< r$.

Man kan alltså lite slarvigt betrakta $\epsilon$ som "det minsta reella talet större än 0".

Här näst konstaterar jag tre grundläggande egenskaper för infinitesimalen $\epsilon$. Dessa måste gälla för att något annat överhuvudtaget ska vara vettigt:

$\displaystyle \forall n\in \mathbb{R^+}$:

$\displaystyle \epsilon \cdot n = \epsilon$

$\displaystyle {\epsilon}^n=\epsilon$

$\displaystyle \frac{q}{p\pm \epsilon}=(\frac{q}{p})^\mp$

Man kan dessutom konstatera att varje tal med en hyperreell del (de reella talen blir en delmängd till denna talmängd) kan skrivas på formen:

$\displaystyle a+k\epsilon, k\in \{-1, 0, 1}\$

Med hjälp av egenskaperna för infinitesimalen $\epsilon$ ovan kan man börja ställa upp ramverket nedan. Jag kommer bara visa några exempel, men principerna verkar kunna användas för alla räknesätt.

$\displaystyle a^{\pm }-b^\pm =(a\pm \epsilon)-(b\pm \epsilon)=a\pm b$

$\displaystyle a^{+}-b^-=(a-b)^{+}$

$\displaystyle a^{-}-b^+=(a-b)^{-}$

$\displaystyle \frac{a^{+}}{b^{+}}=\frac{a+\epsilon}{b+\epsilon}=\frac{a}{b+\epsilon}+\frac{\epsilon}{b+\epsilon}=\frac{a}{b}-\epsilon+\epsilon=\frac{a}{b}$

$\displaystyle a^{+}\cdot b^-=ab-\epsilon=ab^{-}$

Vissa av dessa fall är såklart oanvändbara, eftersom detta nya talsystem huvudsakligen är till för att kunna beräkna gränsvärden (det är åtminstone det jag vill ha det till). Viktigt att konstatera är dock att former som t.ex. $\displaystyle \frac{0^{+}}{0^{-}}$ är odefinierade. Försöker man använda dem när man beräknar gränsvärden blir det fel. Man måste göra om gränsvärdet så att sådana former inte dyker upp. Men de dyker ju i princip bara upp när både nämnare och täljare delar ett nollställe så då orsakar det ju inte alltför stora problem!