Hyperbelns ekvation

Har du tittat på wikipedia?

Det är förresten ekvationen för en viss hyperbel, inte alla. 

Laguna skrev:

Har du tittat på wikipedia? 

 ja, hittar dock ingenstans där det står hur det blev den formeln.,

lamayo skrev:

Laguna skrev:

Har du tittat på wikipedia? 

 ja, hittar dock ingenstans där det står hur det blev den formeln.,

Jag fick leta lite. Här står något om det: https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbola#Hyperbola_in_Cartesian_coordinates

På svenska vet jag inte.

Som du säkert ser på Wikipedia så har hyperbeln två fokus, F1 och F2. Alla punkter P på en given hyperbel ligger sådant att avståndet till ena fokus, PF1, minus avståndet till andra fokus, PF2, är konstant.

PF1 - PF2 = c

Man kan visa att punkter givna av din  hyperbelekvation uppfyller detta krav.

Dr. G skrev:

Som du säkert ser på Wikipedia så har hyperbeln två fokus, F1 och F2. Alla punkter P på en given hyperbel ligger sådant att avståndet till ena fokus, PF1, minus avståndet till andra fokus, PF2, är konstant.

PF1 - PF2 = c

Man kan visa att punkter givna av din  hyperbelekvation uppfyller detta krav.

 Förstår tyvärr ändå inte hur det ger att vi får två hyperbler om på den ekvationen. 

Laguna skrev:

lamayo skrev:

Visa föregående citat

Laguna skrev:

Har du tittat på wikipedia? 

 ja, hittar dock ingenstans där det står hur det blev den formeln.,

Jag fick leta lite. Här står något om det: https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbola#Hyperbola_in_Cartesian_coordinates

På svenska vet jag inte.

 har lite svårt att förstå den med tyvärr med, men kanske börjar klarna om ett tag.

Vad utgår du ifrån när du säger hyperbel? Kägelsnittet, eller den tvådimensionella definitionen med fokus och avståndsskillnad, eller den astronomiska banan, eller klassen av andragradskurvor som har asymptoter? Hyperblar är alla de där sakerna, och några av begreppen är historiskt äldre än andra.

Laguna skrev:

Vad utgår du ifrån när du säger hyperbel? Kägelsnittet, eller den tvådimensionella definitionen med fokus och avståndsskillnad, eller den astronomiska banan, eller klassen av andragradskurvor som har asymptoter? Hyperblar är alla de där sakerna, och några av begreppen är historiskt äldre än andra.

 Som denna: https://goo.gl/images/7PkVcp

lamayo skrev:

Dr. G skrev:

Som du säkert ser på Wikipedia så har hyperbeln två fokus, F1 och F2. Alla punkter P på en given hyperbel ligger sådant att avståndet till ena fokus, PF1, minus avståndet till andra fokus, PF2, är konstant.

PF1 - PF2 = c

Man kan visa att punkter givna av din  hyperbelekvation uppfyller detta krav.

 Förstår tyvärr ändå inte hur det ger att vi får två hyperbler om på den ekvationen. 

Jag slarvade lite.

Det jag skrev gäller för punkter på den ena grenen av hyperbeln. För den andra grenen får du byta tecken på konstanten:

PF1 - PF2 = -c

Kan försöka visa detta vid tillfälle om intresse finns.

Vi söker de punkter (x, y) vars avstånd till de båda punkterna (-1, 0) och (1, 0) skiljer sig med 1.

$\sqrt{(x-1{)}^2+y^2} - \sqrt{(x+1{)}^2+y^2} = 1$

$(x-1{)}^2+y^2 =(1 + \sqrt{(x+1{)}^2+y^2}{)}^2$

osv. Utveckla, flytta över, förenkla och kvadrera igen så att rottecknet försvinner. Till slut får jag

$3 + 4y^2 = 12x^2$

och det är inte riktigt din ursprungliga formel, men om man säger att avstånden ska skilja sig med m och de båda punkterna vara (-n, 0) och (n, 0) så kan man få resultatet att bli din formel.

Dr. G skrev:

lamayo skrev:

Visa föregående citat

Dr. G skrev:

Som du säkert ser på Wikipedia så har hyperbeln två fokus, F1 och F2. Alla punkter P på en given hyperbel ligger sådant att avståndet till ena fokus, PF1, minus avståndet till andra fokus, PF2, är konstant.

PF1 - PF2 = c

Man kan visa att punkter givna av din  hyperbelekvation uppfyller detta krav.

 Förstår tyvärr ändå inte hur det ger att vi får två hyperbler om på den ekvationen. 

 

Jag slarvade lite.

Det jag skrev gäller för punkter på den ena grenen av hyperbeln. För den andra grenen får du byta tecken på konstanten:

PF1 - PF2 = -c

Kan försöka visa detta vid tillfälle om intresse finns.

Okej, det får du jättegärna göra. 

Laguna skrev:

Vi söker de punkter (x, y) vars avstånd till de båda punkterna (-1, 0) och (1, 0) skiljer sig med 1.

$\sqrt{(x-1{)}^2+y^2} - \sqrt{(x+1{)}^2+y^2} = 1$

$(x-1{)}^2+y^2 =(1 + \sqrt{(x+1{)}^2+y^2}{)}^2$

osv. Utveckla, flytta över, förenkla och kvadrera igen så att rottecknet försvinner. Till slut får jag

$3 + 4y^2 = 12x^2$

och det är inte riktigt din ursprungliga formel, men om man säger att avstånden ska skilja sig med m och de båda punkterna vara (-n, 0) och (n, 0) så kan man få resultatet att bli din formel.

Tack! Ska kolla lite på det och se om jag kan få ull det. 

Hej!

Placera hyperbelns två fokalpunkter i punkterna $(c,0)$ och $(-c,0)$ i ett kartesisiskt koordinatsystem. Låt $(x,y)$ vara en punkt på hyperbeln. 

Hyperbeln karakteriseras av att differensen $D_{-}-D_{+}$ är konstant, lika med $2a$; här betecknar $D_{+}$ avståndet mellan punkterna $(x,y)$ och $(c,0)$ och $D_{-}$ avståndet mellan punkterna $(x,y)$ och $(-c,0)$. 

    $\displaystyle 4a^2 = D_{-}^{2} + D_{+}^{2}-2D_{-}D_{+}.$

Avstånden är

    $\displaystyle D_{-}^{2} = (x+c)^2+y^2 \text{ och } D_{+}^{2} = (x-c)^2+y^2 \implies D_{-}^{2}+D_{+}^{2} = 2x^2+2y^2+2c^2$

så att hyperbelns karakteriserande egenskap ger

    $\displaystyle D_{-}D_{+} = x^2+y^2+c^2-2a^2.$  

Kvadrera detta samband (för att slippa hantera kvadratrötterna i $D_{-}$ och $D_{+}$) och använd Konjugatregeln och Kvadreringsregeln för att efter förenkling få 

    $\displaystyle((x^2+y^2 + c^2) + 2cx)\cdot((x^2+y^2+c^2)-2cx) = ((x^2+y^2+c^2)-2a^2)^2 \iff c^2x^2 = a^2(x^2+y^2+c^2-a^2)$.

Skriv sambandet som

    $\displaystyle (c^2-a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2-a^2) \iff \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2-a^2} = 1.$

Hyperbelns ekvation avslöjar att när $|x| = a$ så är $y = 0$ och Konjugatregeln ger att sambandet

    $\displaystyle(\frac{x}{a}-\frac{y}{b})\cdot(\frac{x}{a} + \frac{y}{b}) = 1$

alltid råder, vilket betyder att om den ena faktorn är nära noll så måste den andra faktorn vara väldigt stor; därför är linjerna $\frac{y}{b} = \pm \frac{x}{a}$ sneda asymptoter till hyperbeln. Här har jag definierat det icke-negativa talet $b^2 = c^2-a^2.$

Albiki skrev:

Hyperbelns ekvation avslöjar att när $|x| = a$ så är $y = 0$ och Konjugatregeln ger att sambandet

    $\displaystyle(\frac{x}{a}-\frac{y}{b})\cdot(\frac{x}{a} + \frac{y}{b}) = 1$

alltid råder, vilket betyder att om den ena faktorn är nära noll så måste den andra faktorn vara väldigt stor; därför är linjerna $\frac{y}{b} = \pm \frac{x}{a}$ sneda asymptoter till hyperbeln. Här har jag definierat det icke-negativa talet $b^2 = c^2-a^2.$

 Tack så mycket! :)

Albiki skrev:

 

 

$\displaystyle 4a^2 = D_{-}^{2} + D_{+}^{2}-2D_{-}D_{+}.$

Hur kommer man fram till detta?

lamayo skrev:

Albiki skrev:

 

 

$\displaystyle 4a^2 = D_{-}^{2} + D_{+}^{2}-2D_{-}D_{+}.$

Hur kommer man fram till detta?

 Pythagoras sats, kvadreringsregeln och definitionen av de olika variablerna.

Smaragdalena skrev:

lamayo skrev:

Visa föregående citat

Albiki skrev:

 

 

Visa föregående citat

$\displaystyle 4a^2 = D_{-}^{2} + D_{+}^{2}-2D_{-}D_{+}.$

Hur kommer man fram till detta?

 Pythagoras sats, kvadreringsregeln och definitionen av de olika variablerna.

 Varifrån kommer -2$D_{-}{D}_{+}$?

lamayo skrev:

 

 Varifrån kommer -2$D_{-}{D}_{+}$?

$\displaystyle (D_{-}-D_{+})^2 = D_{-}^2 + D_{+}^2 - 2D_{-}D_{+}.$

Sätt in de beteckningar som Albiki använder i det här inlägget och räkna själv.

Albiki skrev:

Hej!

Placera hyperbelns två fokalpunkter i punkterna $(c,0)$ och $(-c,0)$ i ett kartesisiskt koordinatsystem. Låt $(x,y)$ vara en punkt på hyperbeln. 

Hyperbeln karakteriseras av att differensen $D_{-}-D_{+}$ är konstant, lika med $2a$; här betecknar $D_{+}$ avståndet mellan punkterna $(x,y)$ och $(c,0)$ och $D_{-}$ avståndet mellan punkterna $(x,y)$ och $(-c,0)$. 

    $\displaystyle 4a^2 = D_{-}^{2} + D_{+}^{2}-2D_{-}D_{+}.$

Avstånden är

    $\displaystyle D_{-}^{2} = (x+c)^2+y^2 \text{ och } D_{+}^{2} = (x-c)^2+y^2 \implies D_{-}^{2}+D_{+}^{2} = 2x^2+2y^2+2c^2$

så att hyperbelns karakteriserande egenskap ger

    $\displaystyle D_{-}D_{+} = x^2+y^2+c^2-2a^2.$  

Kvadrera detta samband (för att slippa hantera kvadratrötterna i $D_{-}$ och $D_{+}$) och använd Konjugatregeln och Kvadreringsregeln för att efter förenkling få 

    $\displaystyle((x^2+y^2 + c^2) + 2cx)\cdot((x^2+y^2+c^2)-2cx) = ((x^2+y^2+c^2)-2a^2)^2 \iff c^2x^2 = a^2(x^2+y^2+c^2-a^2)$.

Skriv sambandet som

    $\displaystyle (c^2-a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2-a^2) \iff \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2-a^2} = 1.$

 Om du kör fast, så visa hur långt du har kommit så kan vi försöka hjälp dig därifrån.

Tack! Nu är jag med på det, men har lite svårt att förstå hur ${D_{-}}^2=(x+c{)}^2+y^2$. Hur får man fram att detta är avståndet?

Är det pythagoras en gång till fast i någon annan "del"?

lamayo skrev:

Tack! Nu är jag med på det, men har lite svårt att förstå hur ${D_{-}}^2=(x+c{)}^2+y^2$. Hur får man fram att detta är avståndet?

Är det pythagoras en gång till fast i någon annan "del"?

 (Det euklideska) avståndet mellan punkterna $(x,y)$ och $(-c,0)$ är per definition 

    $\displaystyle D_{-} = \sqrt{(x-(-c))^2 + (y-0)^2} \implies D_{-}^{2} = (x+c)^2 + y^2.$

Albiki skrev:

lamayo skrev:

Tack! Nu är jag med på det, men har lite svårt att förstå hur ${D_{-}}^2=(x+c{)}^2+y^2$. Hur får man fram att detta är avståndet?

Är det pythagoras en gång till fast i någon annan "del"?

 (Det euklideska) avståndet mellan punkterna $(x,y)$ och $(-c,0)$ är per definition 

    $\displaystyle D_{-} = \sqrt{(x-(-c))^2 + (y-0)^2} \implies D_{-}^{2} = (x+c)^2 + y^2.$

 Tack så jätte mycket för hjälpen!