Hydrostatiska paradoxen

Det är just för att det verkar orimligt som man kallar det en paradox.

Smaragdalena skrev:

Det är just för att det verkar orimligt som man kallar det en paradox.

 Jo, det förstår jag, men det måste väl finnas någon typ av förklaring till fenomenet?

Jag betvivlar att det är enbart mätningar som gjort att man accepterat att trycket enbart beror av höjden. Det måste ju åtminstone finnas några teorier till varför trycket är detsamma trots att vätskans tyngd är mindre.

Rita ut trycket på den koniska ytan så blir det kanske "rimligare"?

Dr. G skrev:

Rita ut trycket på den koniska ytan så blir det kanske "rimligare"?

 Jag antar att du tänker dig något sådant här:

Jag förstår att trycket även verkar på behållarens vägg (röda pilar) och att väggen då ger en normalkraft tillbaka (blåa pilar). Dock borde väl denna normalkraft vara lika stor som tryckkraften på väggen och därmed inte ge upphov till någon kraftresultant nedåt?

Mitt stora hinder inför att förstå detta är att man kan få en kraft på bottenytan motsvarande en viss tyngd av vatten trots att man inte har den mängden vatten. Varifrån kommer den extra kraften? Om vi säger att vattnet i behållaren har tyngden $10\ \text{N}$ skulle vi väl kunna balansera tyngdkraften från något som väger $20\ \text{N}$ om vi bara hade rätt höjd på behållaren. I min fysikbok står nämligen att trycket beror på tyngden hos vattnet, men uppenbarligen måste det finnas något mer som ger upphov till en kraft.

För gaser och vätskor gäller att trycket är lika över hela ytan. Det är inte så att tyngden av en vätska skapar trycket, densiteten spelar dock in. Till exempel en ballong, om du trycker med fingret i en punkt av ballongen ökar trycket som gasen i ballongen utövar på gummit. Ett annat bra exempel är hur domkrafter fungerar.

Tillägg: I en del fall kan trycket räknas ut genom att räkna ut tyngden men inte i andra fall.

Aerius skrev:

För gaser och vätskor gäller att trycket är lika över hela ytan. Det är inte så att tyngden av en vätska skapar trycket, densiteten spelar dock in. Till exempel en ballong, om du trycker med fingret i en punkt av ballongen ökar trycket som gasen i ballongen utövar på gummit. Ett annat bra exempel är hur domkrafter fungerar.

Tillägg: I en del fall kan trycket räknas ut genom att räkna ut tyngden men inte i andra fall.

 Så det är någon form av kompression hos vattnet som orsakar kraften utöver vattnets tyngd?

Nej, vatten komprimeras inte (inte nämnvärt, i all fall).

Tycker du att det är lika konstigt att 1 kg uranhexafluoridgas och 1 kg vätgas i samma volym inte ger samma tryck (om temperaturen är samma)?

Smaragdalena skrev:

Nej, vatten komprimeras inte (inte nämnvärt, i all fall).

Tycker du att det är lika konstigt att 1 kg uranhexafluoridgas och 1 kg vätgas i samma volym inte ger samma tryck (om temperaturen är samma)?

 Enligt mig är det nog lite mer logiskt att uranhexafluoriden ger ett lägre tryck (?) än vätgasen eftersom den "vanliga" densiteten är mycket högre för uranhexafluorid. Men det högre trycket hos vätgasen orsakas väl av att den komprimeras (eller föredrar man något annat begrepp?) mer än uranhexafluoriden.

Dock är jag inte helt med på vad detta har med mina vattenbehållare att göra. Där har vi ju olika massor av samma ämne (vatten) som ändå ger samma tryck.

AlvinB skrev:

Aerius skrev:

För gaser och vätskor gäller att trycket är lika över hela ytan. Det är inte så att tyngden av en vätska skapar trycket, densiteten spelar dock in. Till exempel en ballong, om du trycker med fingret i en punkt av ballongen ökar trycket som gasen i ballongen utövar på gummit. Ett annat bra exempel är hur domkrafter fungerar.

Tillägg: I en del fall kan trycket räknas ut genom att räkna ut tyngden men inte i andra fall.

 Så det är någon form av kompression hos vattnet som orsakar kraften utöver vattnets tyngd?

 Tänk dig vattenmolekylerna som en kil. Om du trycker på en sida av kilen utan att kilen rör sig måste kraften du trycker med kompenseras av krafter på kilens andra sidor, de omkringliggande molekylerna utövar en kraft på molekylen

Eftersom en kraft alltid har en motkraft kommer de gröna kraftpilarna ge upphov till motriktade krafter, molekylen utövar en kraft tillbaka på de omkringliggande molekylerna. Detta gör att trycket blir jämt över hela ytan. Om det går att räkna ut kraften i en punkt på ytan med hjälp av vätskans tyngd då kan trycket runt ytan beräknas med hjälp av tyngden. Tyngden bestämmer inte trycket men det påverkar trycket. Temperatur påverkar också trycket som Smaragdalena påtalade.

AlvinB skrev:

Smaragdalena skrev:

Nej, vatten komprimeras inte (inte nämnvärt, i all fall).

Tycker du att det är lika konstigt att 1 kg uranhexafluoridgas och 1 kg vätgas i samma volym inte ger samma tryck (om temperaturen är samma)?

 Enligt mig är det nog lite mer logiskt att uranhexafluoriden ger ett lägre tryck (?) än vätgasen eftersom den "vanliga" densiteten är mycket högre för uranhexafluorid. Men det högre trycket hos vätgasen orsakas väl av att den komprimeras (eller föredrar man något annat begrepp?) mer än uranhexafluoriden.

Dock är jag inte helt med på vad detta har med mina vattenbehållare att göra. Där har vi ju olika massor av samma ämne (vatten) som ändå ger samma tryck.

 Uranhexafluoriden får ett större tryck eftersom det har högre densitet än vätgas. Tänk på att volymen är lika i exemplet, alltså vätgasen komprimeras inte. Temperatur är ett mått på rörelse hos gasen. Så om det är fler molekyler i gasen som rör sig då blir trycket högre. 

Aerius skrev:

AlvinB skrev:
[...]

 Tänk dig vattenmolekylerna som en kil. Om du trycker på en sida av kilen utan att kilen rör sig måste kraften du trycker med kompenseras av krafter på kilens andra sidor, de omkringliggande molekylerna utövar en kraft på molekylen

Eftersom en kraft alltid har en motkraft kommer de gröna kraftpilarna ge upphov till motriktade krafter, molekylen utövar en kraft tillbaka på de omkringliggande molekylerna. Detta gör att trycket blir jämt över hela ytan. Om det går att räkna ut kraften i en punkt på ytan med hjälp av vätskans tyngd då kan trycket runt ytan beräknas med hjälp av tyngden. Tyngden bestämmer inte trycket men det påverkar trycket. Temperatur påverkar också trycket som Smaragdalena påtalade.

 Jag är med på att trycket är jämnt genom hela behållaren (visst heter det Pascals lag?). Vad jag undrar är var den extra kraften som inte orsakas av tyngden hos vattnet kommer ifrån.

Säg att vi tar bort tyngdkraften ur bilden (vi släpper iväg behållaren från internationella rymdstationen). Visst blir trycket på behållarens väggar då lika med noll? Om så är fallet tyder ju det på att det är tyngdkraften som ger upphov till trycket, men varför kan kraften då bli större än vattnets tyngd?

Om tyngden inte enbart ger upphov till trycket, vad är det då?

Uranhexafluoriden får ett större tryck eftersom det har högre densitet än vätgas. Tänk på att volymen är lika i exemplet, alltså vätgasen komprimeras inte. Temperatur är ett mått på rörelse hos gasen. Så om det är fler molekyler i gasen som rör sig då blir trycket högre.

Javisst ja, jag tänkte bort tyngdkraften av någon anledning. Detta har inte riktigt med saken att göra, men om vi tänker oss att vi tar två lådor i yttre rymden (d.v.s. ingen tyngdkraft) fyllda med vätgas respektive uranhexafluorid båda med volymen $1\ \text{m}^3$ sådana att massan gas är densamma i båda lådorna, visst fasen måste trycket bli större i lådan med vätgas? Jag tänker mig att om vi började med olika stora lådor så att trycket och massan är samma i båda skulle vätgaslådan vara större. Om vi sedan minskar ned båda lådor till volymen $1\ \text{m}^3$ har vi ju då förminskat vätgaslådan mer, och därmed borde dess tryck vara större?

Vi kan föreställa oss att vi tar en behållare som är formad som ett rätblock.  Sedan sätter vi in mellanväggar som gör att det blir flera rum upptill. Med vätskan på plats är det fortfarande samma tryck överallt med mellanväggarna där. Nu tar vi bort alla de övre rummen utom ett. Då får vi nåt som liknar din första bild. Vätskan som är kvar påverkas inte av detta. Så då borde trycket också förbli detsamma överallt. 

Helt riktigt är det Pascals lag.

Om du har två lådor med samma volym. Den ena innehåller uranhexafluorid och den andra vätgas, båda med samma temperatur. Då kan inte lådorna ha samma massa eftersom gaserna har olika densitet.

För att återgå till ditt exempel med vätskebehållarna. Det är inte en extra kraft som gör att bottentrycket är lika i vätskebehållarna. Det är Pascals lag som gör att bottentrycket är lika. Bottentrycket och normalkraften är inte motkrafter till varandra. Normalkraften har sin angreppspunkt i tyngdpunkten och dess motkraft är tyngdkraften som också har sin angreppspunkt i tyngdpunkten. Tryckkraften har sin angreppspunkt på ytan och har sin motsvarande kraft vid ytan. Vattnet trycker på glaset som trycker tillbaka på vattnet. Om glaset har en försvagning som inte håller för tryckkraften då går glaset sönder i den punkten. Eller plasten i en ballong. Tryck på en punkt på en ballong ökas trycket över hela ballongens yta. Ballongen går sönder i den punkt där plasten inte kan ge en motkraft till tryckkraften.

Jag anser personligen att det viktigaste steget för att lösa den hydrostatiska paradoxen är att i sitt sinne göra en tydlig separation mellan en vätska och behållaren som omsluter den och att från denna separation tydliggöra att fenomenet följer från en interaktion mellan två kroppar -- vätskan och behållaren.

Om man tänker sig flaska (med försumbar massa) och vätska som en sammansatt kropp då föreligger inga konceptuella fartgupp. Den vätskefyllda flaskan har en vikt och flaskan verkar med ett tryck på underlaget motsvarande totala vikten av vätskan fördelad på botten och trycket flaskan utövar på underlaget är mycket riktigt 

$P = \frac{mg}{A}$ utan någon hänvisning till flaskan eller vätskans dimensioner.

Men här kommer den första kritiska anmärkningen och det är att vätsketrycket vätskan verkar med på botten av flaskan är större än trycket som underlaget verkar med på insidan av botten av flaskan. Detta är i mina ögon den underliggande paradoxen: Att två tryck på olika sidor av en och samma yta kan vara olika utan att detta bryter mot kraftjämvikt; om så är fallet borde ju botten av flaskan röra sig? (Vi ska visa att detta är relaterat till höjdparadoxen).

När vi tar nästa del låt oss ha följande i bakhuvudet:

- En vätska måste ha komprimerande krafter verkandes på dess ytterkanter för att den ska bibehålla en viss geometrisk form,

- En fast bibehåller sin form (övergripande) oberoende av yttre krafter.

Låt oss istället kolla på kraftjämvikten för vattenvolymen och flaskan var för sig:

För vätskevolymen landar vi nödvändigtvis att kraften som verkar på vätskevolymens botten måste vara större än vätskans vikt eftersom de tryckande krafterna på de diagonala ytorna gör ett kraft bidrag nedåt som måste kompenseras av kraften på underifrån på vätskan. Gör vi kvalitativ kraftjämvikt på flaskan så landar vi sedan i just obalansen i tryck på flaskans botten men detta är acceptabelt eftersom krafter (stress) kan fortplanta sig genom flaskan då den är fast. 

Jag hade en annan idé för att komma fram till höjd-relationen men läser såhär halvvägs genom inlägget Lagunas inlägg och övertar det för avslutningen då startinlägget antyder den lösningen:

Man kan göra tröttsam kraftjämvikt för att faktiskt komma fram till Pascals lag men som Laguna pekat ut kan man unvika detta med ett konceptuellt trick; att tänka oss en liknande situation där flaskan ersätts med en cylindrisk behållare med samma basarea och höjd och där mellanskillnaden fylls med vatten.

Den centrala vattenvolymen är statisk vilket betyder att krafterna som verkar på dess gränsytor är är precis de som krävs för att bibehålla dess form -- dvs exakt samma som den mer komplicerade flaskan verkade med på vattenvolymen. Samtidigt så kan man från en cylindrisk volym enkelt räkna ut vad trycket som verkar på botten av vattenvolymen är och man får ett uttryck motsvarande pascals lag. 

Aerius skrev:

AlvinB skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Nej, vatten komprimeras inte (inte nämnvärt, i all fall).

Tycker du att det är lika konstigt att 1 kg uranhexafluoridgas och 1 kg vätgas i samma volym inte ger samma tryck (om temperaturen är samma)?

 Enligt mig är det nog lite mer logiskt att uranhexafluoriden ger ett lägre tryck (?) än vätgasen eftersom den "vanliga" densiteten är mycket högre för uranhexafluorid. Men det högre trycket hos vätgasen orsakas väl av att den komprimeras (eller föredrar man något annat begrepp?) mer än uranhexafluoriden.

Dock är jag inte helt med på vad detta har med mina vattenbehållare att göra. Där har vi ju olika massor av samma ämne (vatten) som ändå ger samma tryck.

 Uranhexafluoriden får ett större tryck eftersom det har högre densitet än vätgas. Tänk på att volymen är lika i exemplet, alltså vätgasen komprimeras inte. Temperatur är ett mått på rörelse hos gasen. Så om det är fler molekyler i gasen som rör sig då blir trycket högre. 

 Nej, uranhexafluorid får mycket lägre tryck än vätgas, eftersom det är mycket färre UF₆-molekyler i 1 kg gas än det är vätgasmolekyler i 1 kg vätgas. Du har rätt i att UF₆ har mycket högre densitet än vätgas om tryck och temperatur är lika, men här är det olika tryck. Molmassan för UF₆ är ungefär 352 g/mol, så 1 kg är 2,84 mol. Molmassan för vätgas är ungefär 2 g/mol, så 1000 g är 500 mol. Trycket i vätgasbehållaren är alltså cirka 176 ggr högre.

Smaragdalena skrev:

Aerius skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

Smaragdalena skrev:

Nej, vatten komprimeras inte (inte nämnvärt, i all fall).

Tycker du att det är lika konstigt att 1 kg uranhexafluoridgas och 1 kg vätgas i samma volym inte ger samma tryck (om temperaturen är samma)?

 Enligt mig är det nog lite mer logiskt att uranhexafluoriden ger ett lägre tryck (?) än vätgasen eftersom den "vanliga" densiteten är mycket högre för uranhexafluorid. Men det högre trycket hos vätgasen orsakas väl av att den komprimeras (eller föredrar man något annat begrepp?) mer än uranhexafluoriden.

Dock är jag inte helt med på vad detta har med mina vattenbehållare att göra. Där har vi ju olika massor av samma ämne (vatten) som ändå ger samma tryck.

 Uranhexafluoriden får ett större tryck eftersom det har högre densitet än vätgas. Tänk på att volymen är lika i exemplet, alltså vätgasen komprimeras inte. Temperatur är ett mått på rörelse hos gasen. Så om det är fler molekyler i gasen som rör sig då blir trycket högre. 

 Nej, uranhexafluorid får mycket lägre tryck än vätgas, eftersom det är mycket färre UF₆-molekyler i 1 kg gas än det är vätgasmolekyler i 1 kg vätgas. Du har rätt i att UF₆ har mycket högre densitet än vätgas om tryck och temperatur är lika, men här är det olika tryck. Molmassan för UF₆ är ungefär 352 g/mol, så 1 kg är 2,84 mol. Molmassan för vätgas är ungefär 2 g/mol, så 1000 g är 500 mol. Trycket i vätgasbehållaren är alltså cirka 176 ggr högre.

 Nu fick jag lära mig något nytt.

SeriousCephalopod skrev:

Jag anser personligen att det viktigaste steget för att lösa den hydrostatiska paradoxen är att i sitt sinne göra en tydlig separation mellan en vätska och behållaren som omsluter den och att från denna separation tydliggöra att fenomenet följer från en interaktion mellan två kroppar -- vätskan och behållaren.

[...]

Tack för en mycket utförlig förklaring och fina illustrationer!

Nu tror jag att det har lossnat för mig, det där med att skilja på flaskan och vätskan gjorde susen. Det är alltså bara vätskan som utövar det "för stora" trycket på flaskan. Själva flaskan mot underlaget har de tryckkrafter som man förväntar sig genom att använda $F=mg$.

Det extra trycket omfördelas alltså i flaskan så att det inte riktas ned mot underlaget; därmed blir trycket från flaskan på underlaget ekvivalent med vattnets tyngd. Däremot om man bara analyserar vätskan får man att reaktionskraften som beror på trycket på de lutande väggarna orsakar ett större tryck nedåt. Detta extra tryck nedåt tas inte ut så länge man bara analyserar vätskan, därför blir vätsketrycket större än vad som fås av enbart vattnets tyngd. Däremot tas detta ut av andra krafter när man väl väver in flaskan, men då är det inte längre fråga om vätsketrycket eftersom man räknar med flaskan.

Har jag fattat rätt?

Tack.

Ja, det tycker jag låter som en god sammanfattning. 

Med risk för att underminera den där trevliga känslan man får när man känner att man förstått något bättre vill jag dock bara avsluta tråden med några exempel på geometrier där man kan kontrollera och vidare utmana sin förståelse.

Dvs att samma princip om den tryckande behållaren även gäller när det inte finns några diagonala sidor i behållaren. Samt hur det blir med vätsketrycket om behållarens inte är symmetrisk så att tyngdpunkten är förskjuten åt sidan. Trycket från en sådan flaska på underlaget är då ojämt fördelad med ett större tryck på högra sidan medan vätsketrycket forfarande påstås vara lika utöver flaskans hela botten. (Att tryck kan variera över en ytor är något som först kommer formellt i Fys2 via momentjämvikt så den sista frågan kan ignoreras inom ramarna för kursen om man vill). 

Aerius skrev:

Helt riktigt är det Pascals lag.

Om du har två lådor med samma volym. Den ena innehåller uranhexafluorid och den andra vätgas, båda med samma temperatur. Då kan inte lådorna ha samma massa eftersom gaserna har olika densitet.

För att återgå till ditt exempel med vätskebehållarna. Det är inte en extra kraft som gör att bottentrycket är lika i vätskebehållarna. Det är Pascals lag som gör att bottentrycket är lika. Bottentrycket och normalkraften är inte motkrafter till varandra. Normalkraften har sin angreppspunkt i tyngdpunkten och dess motkraft är tyngdkraften som också har sin angreppspunkt i tyngdpunkten. Tryckkraften har sin angreppspunkt på ytan och har sin motsvarande kraft vid ytan. Vattnet trycker på glaset som trycker tillbaka på vattnet. Om glaset har en försvagning som inte håller för tryckkraften då går glaset sönder i den punkten. Eller plasten i en ballong. Tryck på en punkt på en ballong ökas trycket över hela ballongens yta. Ballongen går sönder i den punkt där plasten inte kan ge en motkraft till tryckkraften.

 Jag blandade ihop normalkraften och tyngdkraften. Dessa krafter är inte varandras reaktionskrafter. Spännande problem. Intressanta lösningar som varit kula att följa.