huvudräkning integraler

Sinus är en udda funktion.

sin (–30°) = –1/2 = –sin 30°

sin(–x) = –sinx för alla x.

Så arean till vänster om origo är samma som arean till höger om origo om intervallet är symmetriskt.

Men integralen räknar areor under x-axeln negativt så integralen från –a till 0 är samma som integralen från 0 till a fast med ombytt tecken.

Detta är bra att minnas integralen av udda fkn från –a till a är 0

integralen av (jämn fkn från –a till a) = 2 gånger (integralen från 0 till a).

(Jämn fkn: f(x) = f(–x)

udda fkn f(x) = –f(–x))

kan jag tänka att f(x)=sin x ger F(x)=cos x

cos x= cos -x

Intervallet a till-a ger då cos a - (cos-a) som är samma som cos a-cos a= 0

Marilyn skrev:

Sinus är en udda funktion.

sin (–30°) = –1/2 = –sin 30°

sin(–x) = –sinx för alla x.

Så arean till vänster om origo är samma som arean till höger om origo om intervallet är symmetriskt.

Men integralen räknar areor under x-axeln negativt så integralen från –a till 0 är samma som integralen från 0 till a fast med ombytt tecken.

 

Detta är bra att minnas integralen av udda fkn från –a till a är 0

integralen av (jämn fkn från –a till a) = 2 gånger (integralen från 0 till a).

(Jämn fkn: f(x) = f(–x)

udda fkn f(x) = –f(–x))

Flikar in lite..

Vad för mer udda funktioner finns det? De trigonometriska funktionerna?

De ”vanligaste” är förstås xⁿ där n är udda.

sin x , tan x , arcsin x, arctan x

Du kan ju konstruera flera t ex e^x – e^–x 

En udda funktion går genom origo (om den är definierad där), eftersom

f(x) = –f(–x)

=>

f(x) + f(–x) = 0

sätt in x = 0

f(0) + f(0) = 0, dvs f(0) = 0

Men omvändningen gäller inte, många funktioner som går genom origo är inte udda (de flesta kan man säga).

Mattehjalp skrev:

kan jag tänka att f(x)=sin x ger F(x)=cos x

Nej det stämmer inte. Om f(x) = sin(x) så är en primitiv funktion F(x) = -cos(x).

Du bör alltid alltid kontrollera din primitiva funktion genom att derivera den och se om du då får tillbaka ursprungsfunktionen.

cos x= cos -x

Intervallet a till-a ger då cos a - (cos-a) som är samma som cos a-cos a= 0

Du får $\int_{-a}^{a}\sin(x)\operatorname dx=$

$=(-\cos(a))-(-cos(-a))=$

$=-\cos(a)+\cos(-a)=$

$=-\cos(a)+\cos(a)=0$

tusen tackk