Hur visar man att elipsens area blir πab?

Eftersom ellipsen är symmetrisk kan du beräkna arean av ellipsen i första kvadranten och sedan multiplicera med fyra. I första kvadranten kan ellipsen beskrivas med ekvationen:

$y=\sqrt{b^2-\dfrac{b^2x^2}{a^2}}$

(Jag har bara löst ut $y$ ur ellipsens ekvation)

Om du integrerar denna funktion i första kvadranten får du en fjärdedel av ellipsens area.

Dessvärre blir det en ganska krånglig integral. Vad har du lärt dig för metoder när det gäller att lösa integraler? Variabelsubstitution? Trigonometrisk substitution?

Om inte finns ett sätt att reducera ned problemet till arean av en cirkel, men då måste man betrakta arean av en cirkel som given (för den är ungefär lika krånglig att bevisa).

I läromedlet (M5 Liber) presenteras bara två integrationsmetoder: partialbråksupdelning och partiell integration men jag lyckas inte integrera denna integral med hjälp av dem. Det blir krånligt som du sa.

Ja, man behöver något som kallas för trigonometrisk substitution, men om ni inte har gått igenom det är det nog tänkt att uppgiften skall lösas på annat sätt.

Det är rätt så svårt att komma på det här, men kolla vad som händer om du faktoriserar ut $b^2$ ur roten:

$\displaystyle\int_0^a\sqrt{b^2-\dfrac{b^2x^2}{a^2}}\ dx=\int_0^a\sqrt{b^2(1-\dfrac{x^2}{a^2})}\ dx=b\int_0^a\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}\ dx=$

Och sedan delar och multiplicerar med $a$:

$\displaystyle \dfrac{b}{a}\cdot a\int_0^a\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}\ dx=\dfrac{b}{a}\int_0^a\sqrt{a^2(1-\dfrac{x^2}{a^2})}\ dx=\dfrac{b}{a}\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\ dx$

Denna integral är inte mycket roligare att beräkna, men den har en intressant geometrisk koppling. Kan du se vad denna integral blir?

Det ser ut att vara längden på en katet?!

(a-x)(a+x)?

Cirkelns ekvation där a är radien?!

Ja, man kan säga att det är längden av en katet, men det finns en ytterligare geometrisk koppling.

Rita upp kurvan $y=\sqrt{a^2-x^2}$ för några $a$-värden så finner du att den där kurvan är en cirkel med radie $a$!

Vad blir då integralen om kurvan är en cirkel?

Jag skulle säga 2$\mathrm{\pi }$a

Har försökt med variabelsubstitution (hittat på Youtube hur man gör) men får ngt tokigt svar...

Rad 4: vad händer om du sätter t = sin(u), dt = cos(u)*du?

Jo, för att lösa den där integralen behöver du mycket riktigt trigonometrisk substitution, men eftersom det inte verkar ingå i kursen tror jag inte det är så man skall göra.

Vad jag försökte förklara var att funktionen $y=\sqrt{a^2-x^2}$ i första kvadranten beskriver en fjärdedels cirkel med radie $a$. Integralen blir då helt enkelt:

$\displaystyle\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\ dx=\frac{\pi a^2}{4}$

Försök att se varför detta stämmer genom att studera grafen av $\sqrt{a^2-x^2}$.

Om du vet detta kan vi ju förenkla vår integral för en fjärdedel av ellipsen till:

$\displaystyle\int_0^a\sqrt{b^2-\dfrac{b^2x^2}{a^2}}\ dx=\dfrac{b}{a}\int_0^a\sqrt{a^2-x^2}\ dx=\dfrac{b}{a}\cdot\dfrac{\pi a^2}{4}$

Vad blir då ellipsens area?

4*arean i första kvadranten, dvs 4* b/a * $\mathrm{\pi }$a^2/4=  πab

Tack för hjälpen!