Hur visa att p och q är reella

Om x²+rx+s har nollställena x₁ och x₂ så kan uttrycket skrivas (x-x₁)(x-x₂).

Jag förstår ändå inte

Du har de två rötterna. Multiplicera ihop z-z₁ och z-z₂ (de hette visst z och inte x).

Men vad är det som är Z? :D

Jag känner mig hur dum som helst, jag fattar inte vad det är jag ser på. 

Är du med på att ekvationen x²-4 = 0, som har rötterna x = 2 och x = -2, kan skrivas som (x-2)(x+2) = 0?

Ja:D

Du har en andragradsekvation x²+px+q = 0. Du vet att ekvationen har rötterna x = a+bi och x = a-bi. Är du med på att vi kan skriva den ekvationen som (x-(a+bi))(x-(a-bi)) = 0 på precis samma sätt som vi gjorde med den förra ekvationen? 

Jag kan förstå det lite grann, det är svårt att se. Jag ser inte helt vad som händer. Nu ska jag slå ihop för idag, men kollar vidare på det imorgon. Kanske blir jag klokare under natten:D

Nu är jag tillbaka. Jag har verkligen stirrat mig blind på detta och förstår fortfarande inte, det känns som att det ska vara en hyffsat enkel sak att klara av. Jag har försökt att multiplicera ihop (z-z1)(z-z2) Men jag kan inte relatera till vad jag håller på med. Vad i ekvationen kan jag relatera till z1 och z2? Jag vet med mig att jag har svårt att gå baklänges när det gäller kvadreringsregler även svårt med subtraktion(dyskalkylin), men jag brukar reda upp det. Nu släpper det inte alls, känns som att jag missat något helt och hållet nu.

Mvh

Tanken är att vänsterledet i ekvationen du har från början

$z^2+pz+q$    (1)

Kan skrivas som

$(z-z_1)(z-z_2)$    (2)

där $z_1=a+bi$ och $z_2=a-bi$

Du kan alltså jämföra (1) med (2) och klura ut vad $p$ och $q$ ska vara vara. För att göra det kan du

1. sätta in $z_1$ och $z_2$ i (2) och förenkla.
2. Sedan identifierar du $p$ och $q$ genom att jämföra med ursprungsekvationen (1).

Kan man möjligen lösa med siffror så att man ser?

Det blir lite krystat att sätta in siffror på $p$ och $q$ eftersom vi inte vet om de är reella eller komplexa. Det är ju det vi ska visa.

Känner du till sambanden mellan andragradsekvationens rötter? I formelsamlingen kanske det står

$z_1\cdot z_2=q$

$z_1+z_2=-p$

Det första sambandet betyder att

$(a+bi)(a-bi)=q$

$(a^2+b^2)=q$

$q$ måste alltså vara reellt eftersom $a$ och $b$ är reella enligt uppgiften.

Det andra sambandet betyder att

$(a+bi)+(a-bi)=-p$

$2a=-p$

$p$ måste alltså vara reellt eftersom $a$ är reell enligt uppgiften.

Åh ok, tänkte att det kunde vara ett sätt för att se bättre vad jag ska göra. Men faktiskt så känner jag inte sambanden, jag har svårt med samband generellt. Men det brukar lösa sig, bara extra trögt nu. Finns det någonstans jag kan läsa mig till det? Jag hittar inte.  Jag uppskattar verkligen dina fina förklaringar, jag har tyvärr svårt att förstå dem bara. 

Börja med att förenkla (x-(a+bi))(x-(a-bi)) så att du blir av med de innersta parenteserna, och multipicera sedan ihop dem. Hur ser produkten ut?

Bryt inte ihop nu bara, det blev såhär..

-bi*bi=b²

Du missade kvadraten.

Ja oj, tänkte på bi^2 som b*(-1) Istället för b^2 * i^2

Så nu skall du jämföra

z² -2az +a² +b² =0
med
z² +pz-q=0

Vad är p och q då?

p = - 2a

q = a^2 + b^2

precis    och eftersom a är reellt (enligt uppgiftern) så måste även p=-2a vara det.
På samma sätt med q.

D.v.s det som DANIEL kom fram till i ¤718

Vad menas med att de är reella? Ni är verkligen toppen, det är bara jag som inte hänger med på vad jag gör.

Reella tal är alla "vanliga" tal, d v s de som inte är komplexa.

Som Z=a+bi   Det är ju en komplex rot och då även ett komplext (imaginärt) tal? Så då blir p= -2a reellt och a^2 + b^2 reellt för att i^2 alltid blir ett reelt tal?

Ja va  dumt! I gick ju bort när jag multiplicerade paratesen. Men om det inte hade blivit ett reellet tal. Hade det kommit med ett (i) när jag multiplicerade paranteserna då?  

Det kan man aldrig råka ut för, om de båda rötterna är ett komplext tal och dess konjugat (som i den här uppgiften). Om en andragradsekvation har två komplexa rötter som inte r varandras konjugat, så har andragradsekvationen komplexa koordinater koefficienter (typ x² + (a+3i)x - 14+5i = 0).

Jaha ok, det var ju kanon att veta!!:D Men.. så det var det? Nu har jag visat att de är reella tal?

Ja, du har visat att p = -2a och q = a²+b² så både p och q är reella (eftersom a och b är reella).

Tack så hemskt mycket, jag är så tacksam för hjälpen:)