Hur vet man vilket A och y man ska välja?

Helt enkelt har du oändligt många y-värden att välja från.

Ja, men om jag väljer t.ex. $A=\sqrt{5}$ får jag inte välja vilket y som helst ur den mängden, utan bara vissa y:n.  fungerar.

Det verkar alltså som att  -sqrt(5) hör ihop med vissa y:n ur mängden och att sqrt(5) hör ihop med de andra. Men jag förstår det inte riktigt.

Ja.

Tänk på enhetscirkeln (eller $\sqrt{5}$ cirkeln :) ). Där har vi en lösning där både cos(y) och sin(y) är positiva, och en där de är negativa. I det här fallet:

$$\begin{gathered} y = {\tan }^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) + 2n\mathrm{\pi } \mathrm{hör} \mathrm{till} \mathrm{A}=\sqrt{5} \\ \mathrm{y} = {\tan }^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right) + (2\mathrm{n}+1)\mathrm{\pi } \mathrm{hör} \mathrm{till} \mathrm{A} = -\sqrt{5} \end{gathered}$$

Men jag kan inte tänka på en elegant förklaring.

(Förresten skulle jag kalla den andra konstanten b istället för y.)

Varför hör lösningarna där man gör en udda pi-förskjutning till $\displaystyle A = -\sqrt5$ och de där man gör jämna förskjutningar till $\displaystyle A = \sqrt5$?

$\left\{\begin{array}{l}A \cos y = \sqrt{3}\\ A \sin y = \sqrt{2}\end{array}\right.$

Det följer att A har samma tecken som cos(y) som har samma tecken som sin(y). Det betyder att y kan vara i första kvadranten med positivt A eller i tredje kvadranten med negativt A.

Jaaa, nu förstår jag! Så det är ett "krav" att sin(y) t.ex. har samma tecken som A, för annars får vi inte ett positivt värde (vilket vi vet att vi ska få)?

Precis. Det är fallet med våran ursprungliga ekvation.