Hur vet man om ett polynom inte går att faktorisera?

Algebrans fundamentalsats säger ju att ett polynom $P(x)$ av grad $n$ har $n$ rötter (kan vara komplexa, kan vara reella) $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}$ och kan faktoriseras enligt $P(x) = C (x - \alpha_{1})(x-\alpha_{2}) \ldots (x - \alpha_{n})$, för någon konstant $C$. Om man kollar på polynom i $\mathbb{C} [x]$, dvs. alla komplexa polynom, så kan varje polynom faktoriseras. Men om man till exempelvis kollar i $\mathbb{R} [x]$, dvs. alla reella polynom, så kan bara vissa polynom faktoriseras. 

Ditt polynom $P(x)=x^{2} + 2x + 2$ har rötterna $-1- i$ och $-1+i$ och kan således inte faktoriseras i $\mathbb{R} [x]$, men den kan däremot faktoriseras i $\mathbb{C} [x]$ enligt $x^{2} + 2x  +2 = (x+1+i)(x+1-i)$.