Hur vet jag att f(x)=x^2/a och g(x)=1-ax^2 är symmetriska kring y-axlen?

Hej!

Vi har funktionerna f(x)=x^2/a och g(x)=1-ax^2 samt vilkroet a>0. Det begränsar tillsamman ett området med arean S. För a>0 har S ett enda extremvärde som är ett maximum. För vilket a har S sitt största värde?

Hur ska jag dra slutsatsen att f(x) och g(x) är symmetriska kring y-axeln om jag inte vet vad a är? Och hur dra jag slutsatsen att g(x) är övre funktionen och f(x) undre funktionen. Om jag visste a hade jag kunnat slå det på graf räknaren men nu går ju inte det så jag antar att det finns regler som avslöjar det utan att behöva veta konstanterna framför x^2 termen? Vilka regler skulle det kunna vara?

Behöver nämligen detta för att beräkna integralen $\int_{0}^{x_{1}} (g (x) - f (x)) d x$ och förstår inte hur man dragit dessa slutsatser... Kan någon förklara?

För dessa funktioner gäller

$f(-x)=f(x)$

$g(-x)=g(x)$

för alla x.

Funktionerna är då spegelbilder av sig själva i y-axeln.

Okej så tex $f (2) = f (- 2) o c h g (2) = g (- 2)$ ger symmetri kring y-axeln för båda funktionerna?

Men hur bestämmer vi att g(x) är övre funktionen och f(x) är undre?

Är det för att konstanten 1/a i $f (x) = \frac{1}{a} x^{2}$ där a>0 är positiv som vi vet att den kommer vara avtagande för x<0 och växande för x>0 (alltså undre funktionen i intervallet 0<x< $x_{1}$ )

samt $g (x) = 1 - a x^{2}$ där a>0 dvs negativ konstant framför x^2 faktorn som ger att den äv växande för x<0 och avtagande för x>0 (alltså övre funktionen i intervallet 0<x<x1)

Eller tänker jag fel?

Stämmer det att alla funktioner på formen $y = x^{2} + q$ där q är en konstant kommer vara symmetriska kring x axeln?

också om y=x^2+px+q stämmer då det här?:

På min graf räknare verkar x^2 ge formen på kurvan, px förskjutning i x-led, åt höger om p<0 och åt vänster om p>0 och q ger förskjutning i y-led. kan det stämma?

cooling123 skrev:
Okej så tex $f (2) = f (- 2) o c h g (2) = g (- 2)$ ger symmetri kring y-axeln för båda funktionerna?

Inte för x = 2 specifikt, men för alla a så gäller f(-a) = f(a).

Men hur bestämmer vi att g(x) är övre funktionen och f(x) är undre?

T.ex genom att beräkna f(0) och g(0).

Nej men exakt tog det vara som ett exemepl :) Men tack då är jag med på den biten!

cooling123 skrev:
också om y=x^2+px+q stämmer då det här?:

Den funktionen är symmetrisk kring x = -p/2 (symmetrilinjen). Med p = 0 så blir det y-axeln (x = 0).

Mhm intressant! Så tex

$y = x^{2} + 10 x + 5$ kommer vara symmetrisk kring x= $- \frac{10}{2} = - 5$

och y= $x^{2} - 10 x + 5$ k kommer vara symmetrisk kring x= $- \frac{(- 10)}{2} = 5$ .

Va coolt. Känns om att det här är säker jag borde veta redan..xD Heter det här området symmetri om ska skulle vela gå tillbaka och repetera lite?

Men om vi har y=K $x^{2}$ , stämmer det att om koefficienten K är negativ så kommer funktionen vara växande och sedan avtagande och om koefficienten är positiv så kommer funktionen vara avtagande och sedan växande? Är det liksom det som är det avgörande?

Ja du har helt rätt i det du skriver.

Kul att du vill hitta och hittar mönster.

Läs gärna mer om andragradspolynom, parabler, nollställen och symmetrilinje här.

Tack!

Svara

Visa senaste svar