Hur vet jag att den här ekvationen ger den minsta omkretsen?

De efterfrågar inte den minsta möjliga arean utan den minsta möjliga omkretsen.

Arean är ju bestämd till 77 cm^2.

Rent allmänt kan du påvisa att det är den minsta omkretsen genom att ställa upp ett uttryck för omkretsen, derivera det och sätta derivatan lika med noll för att hitta extrempunkterna.

Sedan kan du kontrollera extrempunkternas karaktär genom att kontrollera andraderivatans tecken i extrempunjtern eller genom en teckentabell för förstaderivatan alternativt en värdetabell för originaluttrycket runt extrempunkterna.

Yngve skrev :

De efterfrågar inte den minsta möjliga arean utan den minsta möjliga omkretsen.

Arean är ju bestämd till 77 cm^2.

Rent allmänt kan du påvisa att det är den minsta omkretsen genom att ställa upp ett uttryck för omkretsen, derivera det och sätta derivatan lika med noll för att hitta extrempunkterna.

Sedan kan du kontrollera extrempunkternas karaktär genom att kontrollera andraderivatans tecken i extrempunjtern eller genom en teckentabell för förstaderivatan alternativt en värdetabell för originaluttrycket runt extrempunkterna.

Jag menade omkrets istället för area jag fixade det sorry att jag skrev fel. Problemet är att vi inte har lärt oss derivata ännu. Jag tänker liksom när man ska leta efter maximum av någonting så tittar man väl generellt på maximi-/minimipunkten och dess symmetri linje men här gör vi inte det även om det vi söker är minimum av omkretsen, så hur kan vi vara säkra på att ekvationen ger just minimum omkrets? Som referens så tänker jag som den här uppgiften där man söker maximum eftersom uppgiften påpekar det, nu är självklart alla uppgifter inte likadana och det kanske är därför jag har fastnat.

Din ekvation $x(x+4,9) = 77$ kan även skrivas $x^2 + 4,9x -77 = 0$ och du kommer förhoppningsvis ihåg från Ma2 att en andragradsfunktion med positivt värde på kvadrattermen har ett minimum (ser ut som en glad mun).

Du har att situationen ser ur enligt följande

Du har fått givet att

$x = h + 4.9$, och

$xh = 77$

Så man får att

$h(h + 4.9) = 77$

Nu kan du lösa denna ekvation, så från lösningen på den så får du höjden. Då kan du också beräkna basen $x$. Så alltså kan vi få höjden och basen och vi måste bestämma formen så att omkretsen $2x + 2y$ ska bli så liten som möjligt. Har du några tankar på hur man ska välja formen så att $y$ blir så liten som möjligt?

smaragdalena skrev :

Din ekvation $x(x+4,9) = 77$ kan även skrivas $x^2 + 4,9x -77 = 0$ och du kommer förhoppningsvis ihåg från Ma2 att en andragradsfunktion med positivt värde på kvadrattermen har ett minimum (ser ut som en glad mun).

Så eftersom att det är en minimumpunkt så betyder det att x kommer vara ett värde som är så liten som möjligt?

Det stämmer att x kommer att ha det värdet som ger minsta y-värdet i botten av "munnen". Om du har ett minustecken framför kvadrat-termen kommer kurvan att ha ett maximum. Kommer du ihåg hur du hittar symmetrilinjenn(och därmed största eller minsta värde) om du vet andragradsekvationens rötter?

smaragdalena skrev :

Det stämmer att x kommer att ha det värdet som ger minsta y-värdet i botten av "munnen". Om du har ett minustecken framför kvadrat-termen kommer kurvan att ha ett maximum. Kommer du ihåg hur du hittar symmetrilinjenn(och därmed största eller minsta värde) om du vet andragradsekvationens rötter?

Aa de gör jag, dock så letar man inte symmetri linjen här utan bara lösningen för vad x är. Så det du säger kan man ha som en minnes regel, om man söker maximum så borde det vara en maximipunkt och om man söker minimum av något så borde det vara minimi punkt? Men gäller då den här "minnesregeln" alltid?

Symmetrilinjen finns alltid mitt emellan rötterna till en andragradsfunktion - om du har löst ekvationen med pq-formeln, så ärx-värdet för symmetrilinjen det som står innan rot-tecknet i svarsformeln.

En maximipunkt ligger alltid ovanför det som är i närheten, och en minimipunkt ligger alltid under. En funktions högsta värde hittar du i en maximipunkt (en krånglig funktion kan ha flera), eller i änden av intervallet (om man inte kan stoppa in vilka x-värden som helst i funktionen).

smaragdalena skrev :

Symmetrilinjen finns alltid mitt emellan rötterna till en andragradsfunktion - om du har löst ekvationen med pq-formeln, så ärx-värdet för symmetrilinjen det som står innan rot-tecknet i svarsformeln.

En maximipunkt ligger alltid ovanför det som är i närheten, och en minimipunkt ligger alltid under. En funktions högsta värde hittar du i en maximipunkt (en krånglig funktion kan ha flera), eller i änden av intervallet (om man inte kan stoppa in vilka x-värden som helst i funktionen).

Ok ok, det jag menade bara var om en läsuppgift söker efter maximum av något eller minimum av något exempelvis area eller omkrets kommer parabeln då ha en minimipunkt om frågan söker efter minsta minsta area eller om frågan söker efter största area ha en maximi punkt alltid?

Det är alltid farligt att säga "alltid" och "aldrig", men när man letar efter ett maximivärde så räcker det att undersöka de värden där derivatan är lika med 0 (du kommer att lära dig detta i Ma3) och intervallets ändvärden (och likadant för minimivärden).

En parabel (andragradskurva) har alltid bara en extrempunkt, och om det är ett maximivärde eller minimivärde ser du enklast genom att kolla om det är + eller - fram för kvadrattermen.

Första steget här bör vara att ta fram uttrycket för omkretsen och se hur det ser ut.

Sedan kan man bestämma hur man ska hitta dess extrempunkter.

Hej HaCurry!

Parallellogrammets bas och topp är båda $x$ centimeter långa, och parallellogrammets två parallella sidor är båda $y$ centimeter långa. Parallellogrammets omkrets är därför

    $\displaystyle x+x+y+y = 2(x+y)$ centimeter lång.

Att minimera omkretsen är samma sak som att minimera uttrycket $x+y$.

Låt $\theta$ beteckna vinkeln som sidan ($y$) bildar med basen ($x$). För att det ska vara en parallellogram så måste vinkeln vara mellan $0^\circ$ och $90^\circ$; om vinkeln är $90^\circ$ så är parallellogrammet en rektangel. Med hjälp av vinkeln kan parallellogrammets höjd ($h$) uttryckas som

    $\displaystyle h = y\sin \theta$

och parallellogrammets area kan skrivas

    $\displaystyle xh = xy\sin \theta.$

Du vet att arean är lika med $77$ kvadratcentimeter, vilket betyder att $xy\sin \theta = 77.$ Med hjälp av detta samband kan du uttrycka $y$ med hjälp av $x$ såhär. $\displaystyle y = \frac{77}{x\sin \theta}.$ Att minimera uttrycket $x+y$ är alltså samma sak som att minimera uttrycket

    $\displaystyle x+\frac{77}{x\sin \theta}.$

För att göra detta behöver man inte kunna derivera funktioner; det räcker om man är litet klurig och att man kan Kvadreringsregeln $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.$

Såhär gör man: Eftersom vinkeln $\theta$ ligger mellan $0^\circ$ och $90^\circ$ så är $\sin \theta$ ett positivt tal, och man kan därför beräkna kvadratroten $\sqrt{\frac{77}{x\sin \theta}}$; detta är viktigt, eftersom uttrycket som ska minimeras kan skrivas

    $\displaystyle (\sqrt{x})^2 + (\sqrt{\frac{77}{x\sin \theta}})^2.$

Kalla $a = \sqrt{x}$ och Error converting from LaTeX to MathML, så att uttrycket kan skrivas

    $\displaystyle a^2 + b^2.$

Med hjälp av Kvadreringsregeln kan du skriva

    $\displaystyle a^2 + b^2 = 2ab + (a-b)^2.$

Nu kommer den kluriga tanken: Eftersom talet $(a-b)^2$ alltid är större än (eller lika med) noll, så är uttrycket $2ab + (a-b)^2$ alltid större än (eller lika med) $2ab.$ Det gäller alltså att

    $\displaystyle a^2+b^2 \geq 2ab$

och olikheten blir en likhet precis då $a-b = 0$, det vill säga då $a = b.$ Det minsta möjliga värde som uttrycket $a^2+b^2$ kan anta är alltså $2a^2$ och det sker när $a = b.$

Det minsta möjliga värde som parallellogrammets omkrets kan anta är alltså $4x$ och det sker när

    $\displaystyle \sqrt{x} = \sqrt{\frac{77}{x\sin\theta}},$

det vill säga när

    $\displaystyle x = \sqrt{\frac{77}{\sin\theta}.}$

Den minsta möjliga längd ($x$) som basen kan ha är när $\sin\theta = 1,$ vilket betyder att parallellogrammet är en rektangel. Parallellogrammets minsta möjliga omkrets är därför lika med $4\sqrt{77}$ centimeter.

Albiki

Jag hade ett lösningsförslag liknande Albikis, fast inte lika komplicerat och med ett annat slutresultat.

Och jo, det heter en parallellogram, även om det låter lite avigt.

Eftersom y = x så får vi att $O=2(x+4,9)+2x=4x+9,8$.

x är bestämd av sambandet $x(x+4,9)=77$, vilket ger $x\approx6,66$ och alltså $O\approx36,4$.

Detta skiljer sig från Albikis $4\sqrt{77}$.

@Albiki, det verkar som om du har missat villkoret 

I en parallellogram är basen 4.9cm längre än höjden.

och sedan mycket riktigt kommit fram till att den fyrhörning med yta $77 cm^{2}$ som har minimal omkrets är en kvadrat med sidlängden $\sqrt{77}$ cm.