Hur vänder man på bråk?

Ta det steg för steg:

$k=\frac{b}{a}$

Multiplicera båda sidor med $a$:

$ak=b$

Dividera båda sidor med $k$:

$a=\frac{b}{k}$

Dividera båda sidor med $b$:

$\frac{a}{b}=\frac{1}{k}$

Multiplicera båda sidor med -1:

$-\frac{a}{b}=-\frac{1}{k}$

=====

Snabbare väg:

$k=\frac{b}{a}$

Upphöjt båda sidor till -1:

$k^{-1}=(\frac{b}{a})^{-1}$

Använd potenslagen $x^{-1}÷\frac{1}{x}$:

$\frac{1}{k}=\frac{a}{b}$

Och så vidare.

Yngve skrev:

Ta det steg för steg:

$k=\frac{b}{a}$

Multiplicera båda sidor med $a$:

$ak=b$

Dividera båda sidor med $k$:

$a=\frac{b}{k}$

Dividera båda sidor med $b$:

$\frac{a}{b}=\frac{1}{k}$

Multiplicera båda sidor med -1:

$-\frac{a}{b}=-\frac{1}{k}$

=====

Snabbare väg:

$k=\frac{b}{a}$

Upphöjt båda sidor till -1:

$k^{-1}=(\frac{b}{a})^{-1}$

Använd potenslagen $x^{-1}÷\frac{1}{x}$:

$\frac{1}{k}=\frac{a}{b}$

Och så vidare.

Men varför ska vi multiplicera med -1?

Den ursprungliga linjen har k=b/a

Normalen har $k_n=a/-b$

Nu vill vi uttrycka k_n med hjälp av k

Då kan vi börja med att skriva om k=b/a   till a/-b
vi får att -1/k=a/-b
nu kan vi uttrycka   k_n=a/-b=-1/k

Detta gäller ALLA räta linjer som är vinkelräta mot varandra.
Så om du har tex y=2x  så kommer den vinkelräta linjen (normalen) har k-värdet -1/2

Eugenia skrev:

Men varför ska vi multiplicera med -1?

Om vi har två linjer med riktningskoefficienterna k och k₁ så gäller följande:

• Om k•k₁ = -1 så är linjerna vinkelräta mot varandra.
• Om linjerna är vinkelräta mot varandra så gäller det att k•k₁ = -1.

Detta ger oss att k₁ = -1/k

Sant, och detta har vi sett bevisat för så länge sedan att jag glömt beviset.
Jag vet redan att  k·k₁ = -1  om och endast om linjerna är vinkelräta mot varann

Fattas det då inte något led i resonemanget under fig 26 i #1?
Hur vet vi att linjerna är vinkelräta?  
Och att (a, b) hamnar just på  (-b, a)?