Hur uttnytjar man identiteter för att integrera sin^2x?

Det finns ett samband mellan sin^2(x) och sin(2x).

Utnyttja det.

Titta i din formelsamling så hittar du rätt formel.

Jag kollar nu, hittar sin2x= 2sinxcosx och cos2x= cos^2x-sin^2x men inte mellan sin^2x och sin2x...

Jag mindes fel i hastigheten, sin^2 till cos var det visst...

sin^2(x) = (1-cos(2x))/2

Men hur kommer man dit?

$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x= 2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x$

(för omskrivningarna används trigettan!)

I en gammal tråd om additionsformlerna undrade du vad man skulle med formlerna för dubbla vinkeln till.  Att integrera sin^2(x) är ett fall då dubbla vinkeln för cosinus "baklänges" kommer till användning.

Dr. G skrev :

cos2x=cos2x-sin2x= 2cos2x-1=1-2sin2x

(för omskrivningarna används trigettan!)

I en gammal tråd om additionsformlerna undrade du vad man skulle med formlerna för dubbla vinkeln till.  Att integrera sin^2(x) är ett fall då dubbla vinkeln för cosinus "baklänges" kommer till användning.

Det är jag med och jag till och med kommer ihåg det :)

Men om $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$, $\frac{1-\cos 2x}{2}$= ${\sin }^{2}x$, måste man inte nu integrera $\frac{1-\cos 2x}{2}$? Vi har kommit till en likhet, måste inte det trappas upp till integralen?

Precis, men den integralen är relativt enkel:

$\int {\sin }^{2}x dx = \int \frac{1-\cos 2x}{2} dx= ...$

Daja skrev :

För några dagar sedan diskuterade vi om partial integrering och integrering av trigonometriska uttryck. 

Men jag är inte riktigt med för hur man integrerar ${\sin }^{2}x$. Jag ser att det är samma som $(\sin x{)}^2$ och därför måste det vara $\frac{(\sin x{)}^3}{3 x-cosx här?}$, men jag förstår inte hur man kommer fram till $\frac{\hspace{0.17em}1 - \cos \left(2x\right)}{2}$!

 

https://www.pluggakuten.se/trad/bestam-primitiva-funktioner/

Det är för att lösa b)uppgiften:

Hej!

Studera rektangeln som har två av sina hörn i punkterna $(0,0)$ och $(\frac{\pi}{2},0)$. Rektangelns bas är $\frac{\pi}{2}$ lång och rektangelns höjd är 1 lång; dess area är därför lika med $\frac{\pi}{2}$ areaenheter stor.

Grafen till funktionen $y(x) = \sin^2 x$ delar rektangeln i två lika stora delar: en mörkblå del och en vit del.

    $\displaystyle \frac{\pi}{2} = (\text{Morkbla area}) + (\text{Vit area}) = 2 \cdot (\text{Vit area}).$

Den vita delens area kan skrivas som en integral

    $\displaystyle \frac{\pi}{4} = (\text{Vit area}) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \text{d}x,$

som alltså också är lika med den mörkblåa delens area. 

Den totala mörkblåa arean är lika med

    $\displaystyle 2 \cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \text{d}x = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.$

För att kontrollera att resonemanget stämmer kan man beräkna integralen och verifiera att $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x\text{d}x$ verkligen är lika med $\frac{\pi}{4}.$

Med hjälp av den trigonometriska formeln

    $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$

blir integralen lika med

    $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos 2x}{2}\text{d}x = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.$

Albiki

Hej

Dr. G skrev :

Precis, men den integralen är relativt enkel:

$\int {\sin }^{2}x dx = \int \frac{1-\cos 2x}{2} dx= ...$

Kan det vara $\frac{1}{2}x -\frac{{\displaystyle \sin 2x}}{4}$ :D?

Och tack Albiki det var en ordentligt genomgång!

Så nu om jag testar dina värde i mitt svårupphittade integralen...:

$\frac{1}{2}*\frac{-\mathrm{\pi }}{2}-\frac{\sin {\displaystyle }{\displaystyle 2}{\displaystyle *}{\displaystyle \frac{-\mathrm{\pi }}{2}}}{4} - (\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}*\frac{{\displaystyle \mathrm{\pi }}}{{\displaystyle 2}}-\frac{{\displaystyle \sin 2*\frac{\mathrm{\pi }}{2}}}{4})$ termer med sin kommer att försvinna och jag hittar 

$\frac{-2\mathrm{\pi }}{4}$. Som är typ rätt värde, men negativt?

Nu har du beräknat integralen

$\int_{\pi/2}^{-\pi/2}\sin^2(x)\mathrm{d}x=-\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2(x)\mathrm{d}x$

Så det är ju inte konstigt att det blev negativt!

Lol jag är en imbécile... VSB.

Tack för hjälpen till alla! Stänger tråden!