hur uteslöt man 4^x?

Sådana är regler för multiplikation. $\frac{ab}{c}=a\frac{b}{c}$. Exempelvis: 12/2 =(3*4)/2=3*(4/2)=3*2=6

Hondel skrev:

Sådana är regler för multiplikation. $\frac{ab}{c}=a\frac{b}{c}$. Exempelvis: 12/2 =(3*4)/2=3*(4/2)=3*2=6

okej, värdet ändras inte alltså här? jag kan alltså bryta ut 4^h eller 1 också? hur vet man att man inte ändrar värde, speciellt om det gäller en sådan fråga? (med lim)

och min andra fråga är, hur löser man denna ekvation på smidigast sätt? (förutom att pröva sig fram, eller grafiskt?)

Nej du kan inte bryta ut 4^h, däremot kan du bryta ut hela paketet (4^h-1). Om du har multiplikation i en täljare kan du bryta ut de olika faktorerna. 

På din andra fråga, jag förstår det som att du undrar hur man löser gränsvärdet? I detta fall skulle jag utnyttja att (4^h-1)/h är ett standardgränsvärde när h går mot 0. Vet du vilket? Har du kanske någon formelsamling med sådana? Och 4^x beror inte på h så den går bara mot 4^x.

Hondel skrev:

Nej du kan inte bryta ut 4^h, däremot kan du bryta ut hela paketet (4^h-1). Om du har multiplikation i en täljare kan du bryta ut de olika faktorerna. 

 

Aha, om jag exempelvis har

$\frac{5^h -7x (3x-7) +5}{h}$

(nu gav jag bara ett exempel), så kan man bryta ut 5^h och -7x(3x-7) och 5? eller gäller det bara när det är multiplikation emellan? alltså typ

5^h (7x-3) / h

På din andra fråga, jag förstår det som att du undrar hur man löser gränsvärdet?

Ja, jag tycker inte att pröva sig fram är en rolig metod... (alltså att hålla på och sätta in värden nära 0)

I detta fall skulle jag utnyttja att (4^h-1)/h är ett standardgränsvärde när h går mot 0. Vet du vilket? Har du kanske någon formelsamling med sådana?

Vi har inte läst om detta, men jag har kollat lite på det. ln(a), alltså i detta fallet blir det ln(4).

Och 4^x beror inte på h så den går bara mot 4^x.

Skulle du kunna förklara hur du menar? (: (alltså, menar du att 4^x inte har något med h att göra och därför kan man bryta ut den och "göra den osynlig" och bara fokusera på kvoten?

Nej du kan inte bryta ut någon de tre termerna, utan det är som du säger att det är bara om det är multiplikation mellan som du kan bryta ut (som i ditt andra exempel).

När det komme till gränsvärde av något du kan skriva som en multiplikation (som du kan i detta fallet, du har gränsvärdet av 4^x multiplicerat med (4^h-1)/h) så kan man titta på de olika faktorerna var för sig. Så, vad är gränsvärdet av 4^x när h går mot 0? Jo, 4^x beror ju inte av h på något sätt så 4^x går helt enkelt mot 4^x. Sedan har du (4^h-1)/h, och du har helt rätt när du säger att det går mot ln(4).

Så, nu har vi hittat gränsvärdena av de två ingående faktorerna. Då kan du bara multiplicera ihop dem för att få gränsvärdet av hela paketet: 4^x * ln(4). 

Hondel skrev:

Nej du kan inte bryta ut någon de tre termerna, utan det är som du säger att det är bara om det är multiplikation mellan som du kan bryta ut (som i ditt andra exempel).

 

När det komme till gränsvärde av något du kan skriva som en multiplikation (som du kan i detta fallet, du har gränsvärdet av 4^x multiplicerat med (4^h-1)/h) så kan man titta på de olika faktorerna var för sig. Så, vad är gränsvärdet av 4^x när h går mot 0? Jo, 4^x beror ju inte av h på något sätt så 4^x går helt enkelt mot 4^x. Sedan har du (4^h-1)/h, och du har helt rätt när du säger att det går mot ln(4).

Så, nu har vi hittat gränsvärdena av de två ingående faktorerna. Då kan du bara multiplicera ihop dem för att få gränsvärdet av hela paketet: 4^x * ln(4). 

då är jag med. tack snälla!

har bara en till fråga

om jag exempelvis har

$\underset{h->0}{\lim }\frac{a^h-1}{h}=0,5$

och jag måste bestämma talet a, kan jag då använda denna?

, men vet dock inte riktigt hur? eller det kanske inte går?

Det kan du:

$$\begin{gathered} \ln \left(a\right)=0.5 \\ \sqrt{e}=a \end{gathered}$$

naytte skrev:

Det kan du:

$$\begin{gathered} \ln \left(a\right)=0.5 \\ \sqrt{e}=a \end{gathered}$$

hur fick du att

 $\sqrt{e}=a$

$\ln \left(a\right)$ är samma sak som ${\log }_{e}a$, det vill säga det man måste höja e till för att få a. Nu visste vi att det var 0.5. Så vi har att: $e^{0.5}=\sqrt{e}=a$.

naytte skrev:

$\ln \left(a\right)$ är samma sak som ${\log }_{e}a$, det vill säga det man måste höja e till för att få a. Nu visste vi att det var 0.5. Så vi har att: $e^{0.5}=\sqrt{e}=a$.

aha okej, men det är klart. det är alltså

ln(a) = 0,5

$$\begin{gathered} e^{\ln a}=e^{0,5} \\ a=e^{0,5} \\ \sqrt{e }=a \end{gathered}$$

tack snälla!

För att lösa denna uppgift kan vi använda L'Hopitals regel, som säger att om gränsen är i formen $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ och både $f(x)$ och $g(x)$ närmar sig 0 eller oändlighet när $x \to a$, så kan vi ta derivatan av båda funktionerna och räkna ut gränsen som $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Så i detta fall kan vi ta derivatan av både $4^h$ och $h$ och räkna ut gränsen:

$\lim _{h\to 0}\frac{4^h-1}{h} = \lim _{h\to 0}\frac{(4^h) \ln(4) - 0}{1} = \ln(4) \lim _{h\to 0} 4^h = \ln(4) \cdot 4^0 = \ln(4)$

Så gränsen när $h \to 0$ är $\ln(4)$.

$\lim _{h\to 0}\frac{4^h-1}{h} = \boxed{\ln(4)}$

L'Hopitals regel lär man sig inte förrän på universitetet, så det måste vara meningen att man skall lösa den på något annat sätt, om det är en Ma3-uppgift. Standardgr'nsvärden är också något man lär sig på universitetet.

Man kan se det som en tillämpning av derivatans definition på 4^x.

Har du verkligen tillgång till standardgränsvärden i matte 3? 

Tanken är nog att inse det Laguna nämner ovan, att vi söker derivatan av $4^x$.

Derivatan av $a^x$ finns i ditt formelblad.

Dani163 skrev:

För att lösa denna uppgift kan vi använda L'Hopitals regel, som säger att om gränsen är i formen $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ och både $f(x)$ och $g(x)$ närmar sig 0 eller oändlighet när $x \to a$, så kan vi ta derivatan av båda funktionerna och räkna ut gränsen som $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Så i detta fall kan vi ta derivatan av både $4^h$ och $h$ och räkna ut gränsen:

$\lim _{h\to 0}\frac{4^h-1}{h} = \lim _{h\to 0}\frac{(4^h) \ln(4) - 0}{1} = \ln(4) \lim _{h\to 0} 4^h = \ln(4) \cdot 4^0 = \ln(4)$

Så gränsen när $h \to 0$ är $\ln(4)$.

$\lim _{h\to 0}\frac{4^h-1}{h} = \boxed{\ln(4)}$

Om vi bortser att L'Hopitals är overkill och inte tillhör matte 3 så har du glömt $4^x$, men annars ser det ut att stämma. :)

Ja, det är en matte 3 uppgift, och både L'hopitals regel och standardgränsvärde tas inte upp/ har jag inte stött på hittils i min bok. Men det är ju alltid kul att få andra lösningsförslag och sådant, så uppskattar hjälpen ändå (:

Man går ju igenom vissa standardgränsvärden i ma3, t.ex. $\underset{h\to 0}{\lim }{(1+h)}^{1/h}=e$

Man brukar inte använda begreppet standardgränsvärde.