Hur tolkar man detta

Hej,

• Du vet att funktionen $g(x) = x$ är strängt växande; rita en del av dess graf. Funktionens derivata är hela tiden positiv. Detta indikerar att strängt växande medför positiv derivata; du undrar över det omvända, att positiv derivata $g^\prime$ medför strängt växande funktion $g$.
• Du vet att funktionen $h(x) = -x$ är strängt avtagande; rita den del av dess graf. Funktionens derivata är hela tiden negativ. Detta indikerar att strängt avtagande medför negativ derivata; du undrar över det omvända, att negativ derivata $h^\prime$ medför strängt avtagande funktion $h$.

För att bevisa detta behöver man ett resultat som kallas Lagranges medelvärdessats som man lär sig på universitet.

På Matte 3-nivå räcker det att du vet vad strängt växande respektive strängt avtagande innebär och att en funktion som har

• positiv derivata överallt i ett intervall även är strängt växande överalllt i samma intervall.
• negativ derivata överallt i ett intervall även är strängt avtagande överallt i samma intervall.

Samt att det omvända inte gäller, dvs det finns funktioner som är strängt växande (avtagande) men vars derivata ändå inte är positiv (negativ) överallt.

Som exempel kan vi ta $f(x)=x^3$ ($(x)=-x^3$), som är strängt växande (avtagande) överallt men vars derivata är lika med 0 i origo.