Hur tar man reda på om mängden är linjärt oberoende?

Hej!

Hur skall jag gå tillväga för att ta reda på om denna mängd ${u_{i}}^{p}_{i = 1}$ (se bild nedan) är linjärt oberoende?

Hade vi jobbat med vektorer hade jag satt upp en beroendeekvation: c1v1 + ... + cnvn = 0
och kontrollerat ifall det existerar någon icke-trivial lösning vilket då skulle tyda på att vektorerna är linjärt beroende och därmed EJ oberoende. Jag hade t.ex. ställt upp koefficientmatrisen och sedan radreducerat ... bla bla ... och till slut hamnat med t.ex. ett ekvationssystem med kanske någon fri variabel eller inte och på så sätt fått fram svaren till frågan.

Jag förmodar att det går att kontrollera om denna mängd nedan är linjärt oberoende på ungefär samma sätt men får inte till det.

Såhär tror jag att beroendeekvationen ser ut i mitt fall.

$c_{1} u_{1} + c_{2} u_{2} + c_{3} u_{3} = c_{1} x + c_{2} {(x + 1)}^{2} + c_{3} {(x - 1)}^{2} = 0$

Hur ska jag ta reda på om det finns $c_{1}, c_{2} o c h c_{3}$ sådan att V.L = 0?

Man ser ”direkt” att u₁ kan skrivas som en linjärkombination av u₂ och u₃.

u₁ = $\frac{1}{4}$ (u₂ - u₃).

Så dessa polynom är linjärt beroende.

Men det går att göra som du tänkt också.

Utveckla kvadraterna och samla alla termer med samma grad.

Utnyttja att polynomen 1, x, och x² är linjärt oberoende.

PATENTERAMERA skrev:
Men det går att göra som du tänkt också.
Utveckla kvadraterna och samla alla termer med samma grad.
Utnyttja att polynomen 1, x, och x² är linjärt oberoende.

Hmm, okej så om jag fortsätter med min beroendeekvation så hamnar jag till slut på.

$x^{2} (c_{2} + c_{3}) + x (c_{1} + 2 c_{2} - 2 c_{3}) + (c_{2} + c_{3}) = 0$

alltså får jag att:

$c_{2} + c_{3} = 0 c_{1} + 2 c_{2} - c_{3} = 0$

vilket vi skulle kunna skriva på denna form:

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 & - 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}] c = [\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix}] b = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}]$

och sedan radreducerar jag A tills jag får trappstegsform och får till slut att $c_{3}$ blir en fri variabel och därmed så blir svaret till frågan att polynomen alltså är linjärt beroende på varandra ty det existerar icke-trivial lösning till min beroendeekvation.

Kan man göra såhär?

PATENTERAMERA skrev:
Man ser ”direkt” att u₁ kan skrivas som en linjärkombination av u₂ och u₃.
u₁ = $\frac{1}{4}$ (u₂ - u₃).
Så dessa polynom är linjärt beroende.

Sådana lösningar där man "direkt ser" har jag ofta svårt för. Se mitt svar till din andra kommentar.

Ja, du har gjort rätt.

Svara

Visa senaste svar