Hur stort får δ max vara (felmarginal)
Vi har funktionen h(x) = xsin(1/x). Ungefär hur stort f ̊ar δ max vara för
att h(x) inte ska avvika från 0 med mer än ε = 0, 1? Hur blir det
istället om ε = 0, 01?
Jag vet att L = 0, och vi har angivet att vi använder lim(x->0) så a = 0. 0<∣x−0∣<δ och ∣f(x)−0∣<ϵ . Men är det inte så att eftersom xsin(1/x) bara oscillerar mer och mer och mer mellan -1 och 1 så går det inte att hitta en max δ? Jag har testat alla formler
sin(1/x) pendlar ju väldigt fort när x ligger nära noll.
Som exempel, när x går från 0,1 ned till 0,01 så går 1/x från 10 till 100, dvs ungefär 15 stycken 2*pi-perioder. Och går du sedan ned till 0,001 så blir det ytterligare 150 perioder.
Men en sak vet vi, det är att sin(1/x) aldrig blir större än 1 och aldrig mindre än minus 1.
Därför skulle jag sätta sinusfaktorn till ±1 vilket ger
|h(x)| ≤ |x|
slutsatsen är att för |x| < delta så är avvikelsen mindre än delta.
För godtyckligt epsilon > 0 kan du alltså välja delta < epsilon (delta positivt).
I så fall blir |avvikelsen| < epsilon för alla |x| < delta.
Marilyn skrev:sin(1/x) pendlar ju väldigt fort när x ligger nära noll.
Som exempel, när x går från 0,1 ned till 0,01 så går 1/x från 10 till 100, dvs ungefär 15 stycken 2*pi-perioder. Och går du sedan ned till 0,001 så blir det ytterligare 150 perioder.
Men en sak vet vi, det är att sin(1/x) aldrig blir större än 1 och aldrig mindre än minus 1.
Därför skulle jag sätta sinusfaktorn till ±1 vilket ger
|h(x)| ≤ |x|
slutsatsen är att för |x| < delta så är avvikelsen mindre än delta.
För godtyckligt epsilon > 0 kan du alltså välja delta < epsilon (delta positivt).
I så fall blir |avvikelsen| < epsilon för alla |x| < delta.
Vad menas med sinusfaktorn, och varför blev det just |h(x)| ≤ |x|?
Övre figuren visar y = sin (1/x). Det kallar jag sinusfaktorn.
Undre figuren visar y = x sin(1/x).
Den undre kurvan är instängd mellan y = x och y = –x.
Den övre kurvan har inget gränsvärde när x går mot noll. Väljer vi t ex epsilon = 0,5 så ser vi att kurvan kommer ligga utanför bandet ±epsilon för hur många x som helst, oavsett hur nära nollan vi går.
Den undre kurvan däremot kommer aldrig ligga på större avstånd från x-axeln än just
y = |x|. Så när x går mot noll så går x sin(1/x) också mot noll.
Vad som är litet besvärligt med just denna uppgift är att epsilon och delta blir ”samma”. Det kan röra till det.
Antag att h(x) hade varit 3x sin(1/x) + 2. Rita ut linjerna y = ±3x + 2
Nu kommer h(x) att oscillera mellan linjerna. Tag ett godtyckligt positivt epsilon. Om jag i så fall väljer ett (positivt) delta mindre än epsilon/3 så vet jag att för alla x så att
|x–0| < delta så kommer |h(x)–2| = |3x sin(1/x) + 2 –2| < 3 delta < epsilon. Slutsatsen är att h(x) i detta fall går mot 2 när x går mot 0.
Detta är krångligt, jag vet. Du måste rita för att ha en chans.
Men grunden för gränsvärdesresonemangen är som en lek man kan tänka sig att barn leker. Vem kan säga det största talet?
Du inser att den som säger sist vinner.
Detta är samma idé. Du ska visa att f(x) går mot L när x går mot a. Jag tror inte på dig och väljer ett pyttepyttelitet avstånd i y-led (epsilon).
Men hur litet mitt epsilon än är kan du välja ett delta-avstånd i x-led så att funktionen ligger närmare gränsvärdet än epsilon för alla x närmare a än delta. Dvs så att
|f(x) –L| < epsilon för alla |x–a| < delta.
I så fall har du vunnit.
