Hur stor vatten volym?

Om e^0,5x–4 = y så är x = g(y), räkna ut g.

y ska gå från 0 till 19. För ett visst y däremellan tänker vi oss en tunn horisontell cirkelskiva. Den har radie x, alltså area A = pi*x² och volym A dy.

Nu integrerar du A dy från 0 till 19 så får du vasens volym. (Sedan måste du dra bort stjälkvolymen förstås.)

Jag skulle stoppa ner tulpanerna först och sedan fylla på vatten.

Laguna skrev:

Jag skulle stoppa ner tulpanerna först och sedan fylla på vatten.

Smart tänkt, ibland är matteproblem komiskt orealistiska. Ingen kritik, ett problem kan illustrera en viktig princip.

Mogens skrev:

Om e^0,5x–4 = y så är x = g(y), räkna ut g.

y ska gå från 0 till 19. För ett visst y däremellan tänker vi oss en tunn horisontell cirkelskiva. Den har radie x, alltså area A = pi*x² och volym A dy.

Nu integrerar du A dy från 0 till 19 så får du vasens volym. (Sedan måste du dra bort stjälkvolymen förstås.)

Jag vet faktiskt inte hur jag ska gör det. Handlar det om rotationsvolym?

Ja, det måste handla om en rotationsvolym.

Jag tittar närmare på uppgiften. Det är inte säkert att du ska lösa ut x = g(y) som jag föreslog, integralen kan bli svår. 

Volymen kan delas upp i en central cylinder och ett område utanför cylindern som kanske kan beräknas med integral (…) dx.

Har inte gjort det men dumt om jag pekat åt fel håll.

Skalmetoden finns också.

Det framgår inte av uppgiften att vasen är cirkelrund, tycker jag (jag har elliptiska vaser hemma), men man ska väl anta det.

kan man göra så här ${\int }_0^{20}\mathrm{\pi }{\left(x\right)}^2 dx - {\int }_{19}^{20}\mathrm{\pi }{\left(\mathrm{x}\right)}^{2 }dx - 125$ ?

Laguna skrev:

Skalmetoden finns också.

Det framgår inte av uppgiften att vasen är cirkelrund, tycker jag (jag har elliptiska vaser hemma), men man ska väl anta det.

Jag saknar också den uppgiften. Men det talas om bottenytans radie och att formen ges av f(x). Plus att problemet blir olösligt om man inte vet formen.

Marko skrev:

kan man göra så här ${\int }_0^{20}\mathrm{\pi }{\left(x\right)}^2 dx - {\int }_{19}^{20}\mathrm{\pi }{\left(\mathrm{x}\right)}^{2 }dx - 125$ ?

Du är på rätt väg. Men ta bort andra integralen och ändra gränserna för första integralen till från 0 till 19.

Sedan kommer det jobbiga. f(x) = y = e^0,5x –4 så x = 2ln(y+4)

Det betyder att i ditt uttryck ska x ersättas med 2ln(y+4) och dx med dy.

Du behöver hitta en primitiv funktion till [ln (y+4)]² , jag vet inte om du har den tekniken.

Då finns den andra metoden med skalmodellen, jag räknade på det sättet och fick 1393 ml, garanterar inte att det är rätt. 

Jag tror det är för krångligt att gå igenom skalmodellen här, i alla fall för mig. Den ska finnas beskriven i boken, om du har en lärobok.

Mogens skrev:

Marko skrev:

kan man göra så här ${\int }_0^{20}\mathrm{\pi }{\left(x\right)}^2 dx - {\int }_{19}^{20}\mathrm{\pi }{\left(\mathrm{x}\right)}^{2 }dx - 125$ ?

Du är på rätt väg. Men ta bort andra integralen och ändra gränserna för första integralen till från 0 till 19.

Sedan kommer det jobbiga. f(x) = y = e^0,5x –4 så x = 2ln(y+4)

Det betyder att i ditt uttryck ska x ersättas med 2ln(y+4) och dx med dy.

Du behöver hitta en primitiv funktion till [ln (y+4)]² , jag vet inte om du har den tekniken.

Då finns den andra metoden med skalmodellen, jag räknade på det sättet och fick 1393 ml, garanterar inte att det är rätt. 

Jag tror det är för krångligt att gå igenom skalmodellen här, i alla fall för mig. Den ska finnas beskriven i boken, om du har en lärobok.

ska man skriva 2ln(y+4) eller 2ln(x+4)?

Du integrerar y från 0 till 19 så det ska vara 2 ln(y+4)

Integralen är från y = 0 till y = 19 av 4pi [ln(y+4)]² dy om jag minns rätt.

Du behöver göra partiell integrering två gånger, vet inte om det ingår i din kurs.

Väljer du att integrera med avseende på x får du först beräkna volymen av vattencylindern i vasen innan du gör integreringen.

Mogens skrev:

Du integrerar y från 0 till 19 så det ska vara 2 ln(y+4)

Integralen är från y = 0 till y = 19 av 4pi [ln(y+4)]² dy om jag minns rätt.

Du behöver göra partiell integrering två gånger, vet inte om det ingår i din kurs.

 

Väljer du att integrera med avseende på x får du först beräkna volymen av vattencylindern i vasen innan du gör integreringen.

y= e^0,5x -4 

-e^0,5x= -4 

0,5x = ln (4+y) 

x = 2ln (4+y) 

V= ∫019 π(2ln(4+y))^2 dy = 1549,31819 

Den primitiva funktionen är: (xy - 8pi - ln(4+y)(4+y) +32pi + 8piy) 

Jag är osäker om man ska ta 1550 - 125

Snyggt! Jag tänker att du ska ta 1550–125.

Du får litet mer än jag, jag fick 1518 – 125, iofs med skalmetoden, men det spelar ju ingen roll. Kanske avrundningsfel på vägen.

Den där primitiva funktionen förstår jag inte.

Oj, får kolla, jag har ju tagit fram den också.

Jo, Emily Ohlssons svar verkar stämma, jag räknade litet petigt med skivmodellen och fick 1549,318–125.

Min primitiva funktion var 

4pi{ (y+4)[ln(y+4)]² – 2(y+4)ln(y+4) + 2(y+4) } där man sätter in 19 och 0.