Hur stor var radien då hon stickade som snabbast?

Garnnystanets volym kan beskrivas på två sätt. Dels som V = (4/3)π•R³, men också som V = π•r²•l (där l är längden).

I uppgiften skall man beräkna värdet på R då dR/dt och dl/dt har de angivna siffervärdena.

Problemet är att vi inte har längden av garntråden. Jag undrar varför volymminskningen/minut kan skrivas som -1000 cm * pi*0,2^2? Jag är med på att garnets längd minskar med 1000 cm/min samt att volymen av en cylinder ges av pi*r^2*h. Men h är ju inte 1000 cm utan detta är derivatan. 

Om du sätter volymerna lika får man:

(4/3)•R³ = r²•L

där jag använder L i stället för l (alltså versal istället för gemen).

Derivera med avseende på tiden t, och man får då:

4•R²•(dR/dt) = r²•(dL/dt) 

Garnradien r varierar inte med tiden.

Har fortfarande lite svårt att förstå, främst varför förändringen av längden måste multpliceras med garntrådens tvärsnittsarea för att beräkna volymändringen som beror av tiden. 

Då får du nog gå tillbaka till din kursbok i Matte 4 och/eller uppgiftshäftet. Där bör du finna bakgrunden till denna typ av uppgifter.

Jag vill påstå att jag har ganska god kunskap om kedjeregeln. Detta är dock en svår uppgift. Jag känner att det svåra att få fram är just dv /dt då jag inte förstår hur förändringen av längden kan multipliceras med tvärsnittsarean för att ge den cylindriska trådens volymminskning med tiden. Däremot förstår jag att volymminskningen hos cylindern är densamma som för klotet. 

Anonym_15 skrev:

Jag vill påstå att jag har ganska god kunskap om kedjeregeln. Detta är dock en svår uppgift. Jag känner att det svåra att få fram är just dv /dt då jag inte förstår hur förändringen av längden kan multipliceras med tvärsnittsarean för att ge den cylindriska trådens volymminskning med tiden. Däremot förstår jag att volymminskningen hos cylindern är densamma som för klotet. 

Jag tror att det är själva deriveringen du hänger upp dig på. Vet du vad implicit derivering är för något?

Är lite osäker. Har aldrig hört förut. Vad är det?

Det är inte så mycket implicit derivering utan:

Om funktionerna f och g är lika, d.v.s. f=g så ger detta (men EJ omvänt) at f'=g'.

Du har f=g och om du deriverar båda sidor m.a.p. t så får du f'=g'.

Detta kan du sedan använda för att besvara frågan.

Anonym_15 skrev:

Är lite osäker. Har aldrig hört förut. Vad är det?

https://www.youtube.com/watch?v=vlkIFxB_74Y

Sen hade jag inte formulerat uppgiften på det sättet som Jan Ragnar gör. Att Vklot = Vsnöre stämmer inte momentant då de båda volymerna är invert relaterade. 

$$\begin{gathered} V_k=\frac{4\mathrm{\pi } \mathrm{R}{\left(\mathrm{t}\right)}^3}{3} \\ \frac{d{V}_k}{dt}=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{R}{\left(\mathrm{t}\right)}^3\right)}{\mathrm{dt}}=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\frac{d\left(\mathrm{R}{\left(\mathrm{t}\right)}^3\right)}{dR}*\frac{dR\left(t\right)}{dt}=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}*3\mathrm{R}{\left(\mathrm{t}\right)}^2*\frac{dR\left(t\right)}{dt}=4\mathrm{\pi R}{\left(\mathrm{t}\right)}^2*\frac{\mathrm{dR}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{dt}} \\ \frac{d{V}_k}{dt}=4\mathrm{\pi R}{\left(\mathrm{t}\right)}^2*\frac{\mathrm{dR}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{dt}} \\ {V}_s={\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{L}=\mathrm{\pi }0.2^2\mathrm{L}=0.04\mathrm{\pi L}\left(\mathrm{t}\right) \\ \frac{{\mathrm{dV}}_{\mathrm{s}}}{\mathrm{dt}}=0.04\mathrm{\pi }\frac{\mathrm{dL}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{dt}} \end{gathered}$$

Antag att volym snöre ut ur klotet är volym in i stickningen. Eftersom snöre "försvinner" från klotet med stickhastigheten så har vi följande:

$$\begin{gathered} \frac{d{V}_k}{dt}=-\frac{d{V}_s}{dt} \\ 4\mathrm{\pi R}{\left(\mathrm{t}\right)}^2*\frac{\mathrm{dR}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{dt}}=-0.04\mathrm{\pi }\frac{\mathrm{dL}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{dt}} \end{gathered}$$

dL/dt=1000cm/min , dR/dt = -0.1 cm/min . Mata in värdena och lös ut R(t)

Varför skriver du volymen av klotet som 4*pi* R(t) ^3 / 3 istället för 4pi * r^3 / 3? Tack för all hjälp. Sitter och försöker förstå uppgiften med hjälp av era svar :)

På samma sätt med cylindern, pi*r^2^L(t) istället för pi*r^2*h?

R och r är olika ting. R är klotets radie och r är trådens radie.

oneplusone2 skrev:

Sen hade jag inte formulerat uppgiften på det sättet som Jan Ragnar gör. Att Vklot = Vsnöre stämmer inte momentant då de båda volymerna är invert relaterade. 

$$\begin{gathered} V_k=\frac{4\mathrm{\pi } \mathrm{R}{\left(\mathrm{t}\right)}^3}{3} \\ \frac{d{V}_k}{dt}=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{R}{\left(\mathrm{t}\right)}^3\right)}{\mathrm{dt}}=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}\frac{d\left(\mathrm{R}{\left(\mathrm{t}\right)}^3\right)}{dR}*\frac{dR\left(t\right)}{dt}=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}*3\mathrm{R}{\left(\mathrm{t}\right)}^2*\frac{dR\left(t\right)}{dt}=4\mathrm{\pi R}{\left(\mathrm{t}\right)}^2*\frac{\mathrm{dR}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{dt}} \\ \frac{d{V}_k}{dt}=4\mathrm{\pi R}{\left(\mathrm{t}\right)}^2*\frac{\mathrm{dR}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{dt}} \\ {V}_s={\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{L}=\mathrm{\pi }0.4^2\mathrm{L}=0.16\mathrm{\pi L}\left(\mathrm{t}\right) \\ \frac{{\mathrm{dV}}_{\mathrm{s}}}{\mathrm{dt}}=0.16\mathrm{\pi }\frac{\mathrm{dL}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{dt}} \end{gathered}$$

Antag att volym snöre ut ur klotet är volym in i stickningen. Eftersom snöre "försvinner" från klotet med stickhastigheten så har vi följande:

$$\begin{gathered} \frac{d{V}_k}{dt}=-\frac{d{V}_s}{dt} \\ 4\mathrm{\pi R}{\left(\mathrm{t}\right)}^2*\frac{\mathrm{dR}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{dt}}=-0.16\mathrm{\pi }\frac{\mathrm{dL}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{dt}} \end{gathered}$$

dR/dt=-1000cm/min , dL/dt = 0.1 cm/min . Mata in värdena och lös ut R(t)

Ser logiskt ut, men snörets radie är 0.2.

Sedan är det en underlig uppgift. Vi har kanske en värdesiffra på m/min och 1 på cm/min. Finns det någon relevans i svaret?

Fixade radien. Det ska bara vara samma enheter för rätt decimal svar.

oneplusone2 skrev:

Fixade radien. Det ska bara vara samma enheter för rätt decimal svar.

Så hastigheten 10 m/min kan lika gärna vara 60 eller 140 cm/min och man bryr sig om ett svar på 10 cm? Tycker felmarginalen är stor, men jag kan ha fel.

Trinity2 skrev:

oneplusone2 skrev:

Fixade radien. Det ska bara vara samma enheter för rätt decimal svar.

Så hastigheten 10 m/min kan lika gärna vara 60 eller 140 cm/min och man bryr sig om ett svar på 10 cm? Tycker felmarginalen är stor, men jag kan ha fel.

enheterna ska stämma överens. Har man 10 m /min tillsammans med 0.1 cm /min blir svaret fel på decimaltecknet. det enda man behöver göra är att välja en gemensam standard. 10 m = 10m*100 cm/m = 1000 cm

Men är inte felmarginalen förkrossande vilket gör svaret ej signifikant?

Trinity2 skrev:

Men är inte felmarginalen förkrossande vilket gör svaret ej signifikant?

Siffrorna är tagna ur luften av den som skrev uppgiften. Att sticka med en hastighet på 10 m tråd per minut är nog inte möjligt för en människa. Det enda som man har tagit hänsyn till är att dR/dt måste vara mycket mindre än dL/dt. Detta eftersom det försvinner mycket mer materia då klotet minskar i volym jämfört med ett jämntjockt snöre.

oneplusone2 skrev:

Trinity2 skrev:

Men är inte felmarginalen förkrossande vilket gör svaret ej signifikant?

Siffrorna är tagna ur luften av den som skrev uppgiften. Att sticka med en hastighet på 10 m tråd per minut är nog inte möjligt för en människa. Det enda som man har tagit hänsyn till är att dR/dt måste vara mycket mindre än dL/dt. Detta eftersom det försvinner mycket mer materia då klotet minskar i volym jämfört med ett jämntjockt snöre.

Med tanke på hur högt man värderar signifikanta siffror i skolan är uppgiften mycket besynnerlig.

Trinity2 skrev:

oneplusone2 skrev:

Visa föregående citat

Trinity2 skrev:

Men är inte felmarginalen förkrossande vilket gör svaret ej signifikant?

Siffrorna är tagna ur luften av den som skrev uppgiften. Att sticka med en hastighet på 10 m tråd per minut är nog inte möjligt för en människa. Det enda som man har tagit hänsyn till är att dR/dt måste vara mycket mindre än dL/dt. Detta eftersom det försvinner mycket mer materia då klotet minskar i volym jämfört med ett jämntjockt snöre.

Med tanke på hur högt man värderar signifikanta siffror i skolan är uppgiften mycket besynnerlig.

Jag tror du har missförstått något. I en provsituation finns det angivet i vilken enhet svaret ska vara. Iom det så är det korrekta svaret redan givet i förhållande till säg 3 signifikanta siffror. Det finns bara ett korrekt svar .

Uppgiften har 1 värdesiffra, om ens det.

oneplusone2 skrev:

I en provsituation finns det angivet i vilken enhet svaret ska vara. Iom det så är det korrekta svaret redan givet i förhållande till säg 3 signifikanta siffror. Det finns bara ett korrekt svar .

Jag förstår inte vad detta betyder. Kan du säga det med andra ord?

Fanns det facit?