Hur stor del av en områdes area kan en triangelarea uppta högst?

På denna uppgift tänker jag att man ska maximera arean av triangeln, det vill säga hitta differensen mellan den slutna integralen och arean av triangeln.

Problemet är nu i alla fall att man ska hitta basen av triangeln, och även höjden på triangeln.

Jag tänkte att vi skulle behöva x-värden där de blå linjerna är ritade. Vi vet att för en av dem är det x = 2.
Att man ger x-koordinaten för den vänstra blå linjen ett namn, kanske ”a". Sen att man beskriver triangelns bas och höjd i termer av a, och sedan dess area?

Om det högra hörnet av triangeln är vid x=2, och det vänstra hörnet är vid x=a, så är bredden på triangeln 2-a. Höjden då x = a, är 2a-a^2.

Arean av triangeln är då:

$A = \frac{b \times h}{2} \to \frac{(2 - a) (2 a - a^{2})}{2} \to \frac{4 a - 4 a^{2} + a^{3}}{2}$

Men hur hittar man maximala arean av triangeln mellan punkterna x = 0 och x = 2?

för att hitta max eller min brukar man söka derivatans nollställen.

Kan det vara en bra ide i detta fall?

Ture skrev:
för att hitta max eller min brukar man söka derivatans nollställen.

Kan det vara en bra ide i detta fall?

$y = \frac{a^{3}}{2} - 2 a^{2} + 2 a \to y^{'} = \frac{3}{2} a^{2} - 4 a + 2 y^{'} = 0 \to \frac{3}{2} a^{2} - 4 a + 2 = 0 \frac{\frac{3}{2} a^{2}}{\frac{3}{2}} - \frac{4 a}{\frac{3}{2}} + \frac{2}{\frac{3}{2}} = 0 a^{2} - \frac{8 a}{3} + \frac{4}{3} = 0 a = \frac{\frac{8}{3}}{2} \pm \sqrt{{(\frac{\frac{8}{3}}{2})}^{2} - \frac{4}{3}} a = \frac{8}{6} \pm \sqrt{{(\frac{8}{6})}^{2} - \frac{4}{3}} a = \frac{8}{6} \pm \sqrt{\frac{64}{36} - \frac{48}{36}} a = \frac{8}{6} \pm \frac{4}{6} a_{1} = 2, a_{2} = \frac{4}{6} \to \frac{2}{3}$

a kan inte vara 2, eftersom a var vänstra hörnet på triangeln.

$A = \frac{b \cdot h}{2} \to \frac{(\frac{6}{3} - \frac{2}{3}) (2 \frac{2}{3} - {(\frac{2}{3})}^{2})}{2} = \frac{16}{27}$

Jag vet inte om frågan ville ha triangelns area, eller om den är ute efter vilken bråkdel av totala ytan hos inneslutna kurvan som täcks av triangeln. Det vill säga triangelarea dividerat med arean under parabeln (som är:)

$\int_{0}^{2} 2 x - x^{2} d x = {[x^{2} - \frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{2} = [4 - \frac{8}{3}] = \frac{4}{3}$

Hur stor del av området… betyder kvoten mellantriangelns area och det andra området

Ture skrev:
Hur stor del av området… betyder kvoten mellantriangelns area och det andra området

Så svaret är då $A = \frac{\frac{16}{27}}{\frac{4}{3}} = \frac{4}{9}$ ?

Dani163 skrev:

Så svaret är då $A = \frac{\frac{16}{27}}{\frac{4}{3}} = \frac{4}{9}$ ?

Ja det stämmer.

Svara

Visa senaste svar