Hur stor del av en kvadrat upptas av en triangel

Hej!

Jag löste precis en uppgift där jag skulle ta reda på hur stor del av en kvadrat som upptogs av en triangel. Sättet jag löste det på var med hjälp av funktioner och ett koordinatsystem. Detta funkar såklart bra men jag undrar om det möjligtvis finns ett sätt att lösa den med likformighet eller liknande.

Här är uppgiften:

Tack :)

Om man kallar skärningspunkten mellan BP och AC för E så är APE och CBE likformiga. Det borde man kunna utnyttja.

Hur hur du tänkt själv, mer specifikt? Det står i Pluggakutens regler att du skall visa hur du har försökt och hur långt du har kommit. /moderator

Själv skulle jag börja med att dela in kvadraten i 4 mindre kvadrater och titta efter hur det ser ut då.

Lösning

Om du följer Lagunas förslag ser du att arean hos BCE är fyra gånger så stor som arean för APE. Detta ger:

$C P E + A P E = \frac{A r e a}{4} C P E + B C E = \frac{A r e a}{2} B C E = 4 A P E \Rightarrow C P E + 4 A P E = \frac{A r e a}{2} \Rightarrow C P E + 4 (\frac{A r e a}{4} - C P E) = \frac{A r e a}{2} \Leftrightarrow C P E = \frac{A r e a}{6}$

Ebola skrev:
Lösning
Om du följer Lagunas förslag ser du att arean hos BCE är fyra gånger så stor som arean för APE. Detta ger:
$C P E + A P E = \frac{A r e a}{4} C P E + B C E = \frac{A r e a}{2} B C E = 4 A P E \Rightarrow C P E + 4 A P E = \frac{A r e a}{2} \Rightarrow C P E + 4 (\frac{A r e a}{4} - C P E) = \frac{A r e a}{2} \Leftrightarrow C P E = \frac{A r e a}{6}$

Hur fick du fram att BCE är 4 gånger så stor som APE? Jag antar att du använde areaskala=(längdskala)^2. Men jag är nyfiken på hur du fick längdskalan

TheDovah skrev:
Hur fick du fram att BCE är 4 gånger så stor som APE? Jag antar att du använde areaskala=(längdskala)^2. Men jag är nyfiken på hur du fick längdskalan

Förklaring

Om vi kallar sidan på kvadraten för $a$ så har vi:

Där $b$ är någon okänd höjd. Du kan se att den lilla triangeln har basen $a / 2$ eftersom AP = PD. Areorna för trianglarna blir:

$A_{s t o r} = \frac{a b}{2} A_{l i t e n} = \frac{a b}{8} A_{s t o r} = 4 A_{l i t e n}$

Ebola skrev:
TheDovah skrev:
Hur fick du fram att BCE är 4 gånger så stor som APE? Jag antar att du använde areaskala=(längdskala)^2. Men jag är nyfiken på hur du fick längdskalan
Förklaring
Om vi kallar sidan på kvadraten för $a$ så har vi:
Där $b$ är någon okänd höjd. Du kan se att den lilla triangeln har basen $a / 2$ eftersom AP = PD. Areorna för trianglarna blir:
$A_{s t o r} = \frac{a b}{2} A_{l i t e n} = \frac{a b}{8} A_{s t o r} = 4 A_{l i t e n}$

Aha, jag förstår nu! Tack :)

TheDovah skrev:
Hur fick du fram att BCE är 4 gånger så stor som APE? Jag antar att du använde areaskala=(längdskala)^2. Men jag är nyfiken på hur du fick längdskalan

Alternativ metod: Det står i uppgiften att |BP| = |CP|. Detta gör att punkten P måste ligga mitt emellan A och B. Resten fixar du.

Svara

Visa senaste svar