Hur stor del är skuggad?

Inte $\frac{10}{31}$men nästan...   Rita och räkna

10/31 eller kanske 10/32? Löses enklast med likformighet. 

Kalla en halv ruta för $1$ a.e. (areaenhet).

Det gäller att minsta delen har arean:

$A_1 = 1$

Sedan ökar arean med $2$ a.e. för varje ny del.

$A_2 = A_1 +2$

$A_3 = A_2+2 = A_1+4$

o.s.v.

Den sökta andelen är:

$\frac{A_3}{A_1+A_2+A_3+A_4}$

Hej

Om vi säger att den längsta sidan är a. Då blir den totala arean a^2/2. Den mellersta triangeln har arean 9a^2/32 och den lilla har arean 4a^2/32. Nu vet vi att den skuggade området är 5a^2/32. 

Andelen blir då 5/16

larsolof skrev :

Inte $\frac{10}{31}$men nästan...   Rita och räkna

Fick det till 10/32 räknade lite slarvigt innan alltså 5/16

tomast80 skrev :

Kalla en halv ruta för $1$ a.e. (areaenhet).

Det gäller att minsta delen har arean:

$A_1 = 1$

Sedan ökar arean med $2$ a.e. för varje ny del.

$A_2 = A_1 +2$

$A_3 = A_2+2 = A_1+4$

o.s.v.

Den sökta andelen är:

$\frac{A_3}{A_1+A_2+A_3+A_4}$

Tack! Det gjorde att jag förstod det nu mycket bättre!

Dr. G skrev :

10/31 eller kanske 10/32? Löses enklast med likformighet. 

Hur löser jag det med likformighet? 1/2=2/4=3/6=4/8 men hur får jag ut 5/16 genom det?

Man kan använda att $areaskalan = (langdskalan)^2$.

Minsta triangeln har arean: 1 a.e.

Näst minsta har längdskalan x 2, vilket ger arean x 4.

Näst största: $3^2= 9$ a.e.

Största: $4^2 = 16$ a.e.

Sökt andel: (Näst största-näst minsta)/största = 

$\frac{9-4}{16} = \frac{5}{16}$.

tomast80 skrev :

Man kan använda att $areaskalan = (langdskalan)^2$.

Minsta triangeln har arean: 1 a.e.

Näst minsta har längdskalan x 2, vilket ger arean x 4.

Näst största: $3^2= 9$ a.e.

Största: $4^2 = 16$ a.e.

Sökt andel: (Näst största-näst minsta)/största = 

$\frac{9-4}{16} = \frac{5}{16}$.

okej, tack nu fattar jag!

Det jag tänkte med likformighet är i princip tomast80s lösning. Det finns 4 likformiga trianglar med areor som förhåller sig som

1:4:9:16

Skuggad andel blir då

(9 - 4)/16

Hej!

Den likbenta triangelns höjd är $H$ och dess bas är $B\ .$

Den skuggade arean kan skrivas

    $\text{Area Parallellogram } + \text{ Area liten triangel}\ .$

Parallellogrammens area är lika med Basen*Höjden, där Basen = B/4 och Höjden = 2*H/4 = H/2.

Den lilla triangelns area är lika med Basen*Höjden/2,där Basen = B/4 och Höjden = H/4.

Den skuggade arean blir därför

    $\frac{BH}{8} + \frac{BH}{32} = \frac{4BH}{32}+\frac{BH}{32} = \frac{5BH}{32} = \frac{5}{16}\cdot \frac{BH}{2}\ .$

Eftersom den likbenta triangelns area är $BH/2$ så ser du att den skuggade arean är $5/16\approx 5/15 = 1/3$ av den likbenta triangelns area.

Albiki

Tack för hjälpen allihop!