Hur stämmer likhetena?

Hur stämmer likhetena i uppgiften allra längst ner på denna sida.

Har suttit med det ett tag nu men lyckas inte knäcka det.

Antar att det handlar om logaritmer. T ex hänger jag inte med på hur (x+1+$O\left(\frac{1}{x}\right))$^(x)=$e^{x\log (x+1+O(\frac{1}{2}\left)\right)}$.

Tacksam för hjälp!