Kluring: Hur snabbt kan jorden röra sig bort från jupiter?

anm: Detta är en geometrisk kluring där intuitionen hos en tonåring räcker rätt långt men för resonemanget så behövs iaf lite kunskap om vektorer. En exakt lösning och inte bara en approximativ riskerar bli rätt så komplicerad.

När planeterna kretsar kring solen så förändras deras relativa lägen över tid. Det är inte svårt att inse att två planeter är som närmast sker när de ligger på en linje med solen.

I astronomiska termer kallas detta för opposition/konjunktion med solen men annan anmärkning är att i detta läge rör sig planeterna i samma riktning men deras relativa hastighet längs linjen som förbinder dem är noll. I ögonblicket rör de sig varken mot eller från varandra men i andra punkter rör sig planeterna antingen mot varandra så att deras avstånd minskar, eller från varandra så att deras avstånd ökar. Men är det lika uppenbart när de rör sig bort/mot varandra med högst fart? [[Hastigheten som avses är alltså komposanten längs synlinjen]]

Frågan är följande: I vilken punkt i omloppsbanan rör sig planeterna från respektive mot varandra med högst hastighet? [i fysiktermer: i vilka punkter är dopplerförskjutningen maximal]

En motiverad beskrivning i geometriska termer är såklart tillräcklig men ibland är det lättare att ge svar i formler eller tal och i så fall kan vi ta

(a) Vad är planeternas avstånd när de rör sig mot eller från varandra som snabbast?

(b) Vad är planeternas relativa hastighet längs linjen som förbinder dem när detta sker?

Utgå från att planetbanorna är cirkulära med gemensamt centrum. Du kan ta $r, R$ vara banornas radier, $\omega, \Omega$ vara banornas vinkelhastigheter, och $v, V$ vara banornas fart i koordinatsystemet.

För realism kan du tar den inre planeten till jorden som har banradie 1 AU och banhastighet 30 km/s och yttre planeten till jupiter med banradie 5,2 AU och banfart 13 km/s. (Mars bana är för elliptisk för att ska vara rimligt)

Om man tänker sig att man befinner sig på jorden (Terra) och tittar mot Jupiter, sammanfaller aldrig siktriktningen med Jupiters hastighetsvektor. Omvänt, om man befinner sig på Jupiter och siktar mot jorden så sammanfaller siktriktningen med jordens hastighetsvektor om riktningen tangerar omloppsbanan. Intuitivt känns det som det borde vara läget då planeterna rör sig från eller mot varandra som snabbast. Något bevis tycker jag inte att det är, så då är det väl bäst att försöka sig på en beräkning.

Visa spoiler

Vi kanske kan börja med att anta att jupiter står stilla? Då borde det vara uppenbart att att ditt argument fungerar. Det är inte heller så svårt att argumentera för att vi kan göra det antagandet (via referensram eller att rotation av hela solsystemet inte påverkar inbördes hastigheter).

Här är en annan lösning, som dock utnyttjar universitetsmatte + inspiration från Jan Ragnar och JohanB.

Säg att vi vill beräkna $\frac{d |\vec{r} - \vec{R}|}{d t}$ , där vektrorerna är ortsvektorerna från solen till jorden respektive Jupiter.

Sätt $\vec{x} = \vec{r} - \vec{R}$ .

$\frac{d {|\vec{x}|}^{2}}{d t} = 2 |\vec{x}| \cdot \frac{d |\vec{x}|}{d t}$ .

Vidare gäller att

$\frac{d {|\vec{x}|}^{2}}{d t} = \frac{d (\vec{x} ∙ \vec{x})}{d t}$ ( $∙$ =skalärprodukt).

Låt oss nu, som föreslagits av Johan B, införa en roterande referensram A, där solen och Jupiter är i vila. Låt D_A beteckna tidserivering av vektorer relativt referensramen A.

Enligt sats känd från mekaniken har vi att

$\frac{d (\vec{x} ∙ \vec{x})}{d t} = 2 \vec{x} ∙ D_{A} (\vec{x})$ .

Med utnyttjande av ovanstående får vi

$\frac{d |\vec{x}|}{d t} = \frac{\vec{x}}{|\vec{x}|} ∙ D_{A} (\vec{x})$ .

Här är $\frac{\vec{x}}{|\vec{x}|}$ en enhetsvektor riktad från Jupiter mot jorden som vi kallar $\vec{e}$ i det följande.

Vidare har vi

$D_{A} (\vec{x}) = D_{A} (\vec{r} - \vec{R}) = D_{A} (\vec{r}) - D_{A} (\vec{R}) = D_{A} (\vec{r})$ , eftersom $\vec{R}$ är en fix vektor i A.

Från Jan Ragnars figur så inser vi att $D_{A} (\vec{r}) = r ω \vec{τ}$ , där $\vec{τ}$ är normerad tangentvektor till jordbanan i den punkt som jorden befinner sig i. Således

$\frac{d |\vec{x}|}{d t} = r ω \vec{e} ∙ \vec{τ} .$

Avståndet mellan planeterna ökar därför snabbast då $\vec{e} = \vec{τ}$ och minskar snabbast då $\vec{e} = - \vec{τ}$ .

Så åter igen ser vi att Jan Ragnars ursprungliga intuition var korrekt.

Svara

Visa senaste svar