Hur ska man tolka plus-minus-tecknet?

Jag satt och fifflade lite med några redan kända trigonometriska identiteter och kom fram till att:

$\displaystyle \cos(\frac{x}{2})=\pm \sqrt{\frac{\cos x+1}{2}}$ .

Men jag förstår inte hur jag ska tolka att det står plusminus framför. Ska jag tolka det som att cos av halva vinkeln är lika med antingen eller beroende på fall eller att den alltid är lika med båda?

Hur kan det vara positivt och negativt samtidigt?

Men hur vet man vilket av dem man ska välja i det här fallet? Säg att man får en godtycklig vinkel, t.ex. $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ . Ska man välja plus- eller minusvarianten då och varför?

Är det storleken på vinkeln som avgör? Alltså om vinkeln är tillräckligt stor hamnar man i andra eller tredje kvadranten och då får man ett negativt värde på cos. Annars blir värdet positivt? Alltså precis som en andragradskurva är varje värde speglat runt y-axeln.

cos(x/2) har naturligtvis bara ett värde, för ett givet x. Så det är antingen plus eller minus till höger, beroende på x.

Ursprungligen är väl identiteten:
$\cos^{2} (\frac{x}{2}) = \frac{\cos (x) + 1}{2}$

Om du sedan tar roten ur bägge sidor får du tänka på att
$\sqrt{(a^{2})} \neq a$
utan
$\sqrt{(a^{2})} = | a |$

Ja, bara så att jag förstår rätt:

Om argumentet blir så stort att x-värdet i enhetscirkeln blir negativt, då "hör det ihop" med varianten med minustecken framför. Om argumentet gör att cosinusfunktionen levererar ett positivt x-värde, då använder man varianten med + framför.

Jag kom på ett liknande fall, som du redan är väl förtrogen med:

$\cos(x) = \pm \sqrt{1-\sin^2{x}}$ .

Svara

Visa senaste svar