Hur ska man tänka för att lösa denna uppgift?

För polynom gäller generellt att om polynomet har ett nollställe vid $x=x_1$ så är $(x-x_1)$ en faktor i polynomet.

Exempel: Polynomet $p(x)=2x^2-2$ har de två nollställena $x=1$ och $x=-1$. Det betyder att $(x-x_1)$ och $(x-x_2)$ är faktorer i polynomet och att polynomet alltså kan skrivas $p(x)=k(x+1)(x-1)$, där $k$ är en konstant (som i detta fallet ät lika med 2).

En andragradsekvation som har rötterna $x=1$ och $x=-1$ kan alltså till exempel skrivas $2x^2-2=0$.

Kommer du vidare då?

Vet du vad en "dubbelrot" är?

En dubbelrot är skärningen med x-axeln där derivatan är 0. Men har fortfarande svårt att gå vidare med uppgiften

Varför heter en dubbelrot just dubbelrot?

Ingen aning

För att faktorn x-x₁ förekommer dubbelt. Polynomet har alltså faktorn (x-x₁)².

Svenska wikipedia-sidan om dubbelrot var inte så hjälpsam. Man leds vidare automatiskt till sidan om rot, och där står om "högre ordningens rötter", men ordet dubbelrot nämns inte.

PsykedeliskaRenässansen skrev:

En dubbelrot är skärningen med x-axeln där derivatan är 0. Men har fortfarande svårt att gå vidare med uppgiften

Tredjegradsekvationen kan skrivas $p(x)=0$, där $p(x)$ är ett tredjegradspolynom.

Eftersom du vill att $x=-3$ ska vara en rot (dvs ett nollställe till $p(x)$) så vill du att $(x-(-3))=(x+3)$ ska vara en faktor i polynomet $p(x)$.

Eftersom du vill att $x=6$ ska vara en dubbelrot (dvs ett nollställe med multiplicitet 2 till $p(x)$) så vill du att $(x-6)^2$ ska vara en faktor i polynomet $p(x)$.

Kommer du vidare då?

Tack för hjälpen!