Hur ska man tänka för att bevisa Riemann-integrerbarhet?

Är du med på att mängden L av alla undersummor är en uppåt begränsad mängd av reella tal? I så fall har L genom supremumaxiomet en minsta övre begränsning som vi kallar supremum av L, förkortat: sup L. I allmänhet behöver sup M inte vara ett element i M. Exempel: Låt M vara mängden av rationella tal< e (dvs ung 2,718). sup M = e, men e är inte rationellt och tillhör därför inte M. På samma sätt är det här: det kan, men måste inte finnas en partition som ger sup L. Du kan därför (i allmänhet)inte veta om du har hittat partitionen med stort P.

Okej, det är jag med på. Men jag förstår inte hur jag ska lösa uppgiften då. Skulle du kunna ge mig lite vägledning? Det fanns ett exempel i boken men det var helt obegripligt.

Men en sak jag fortfarande undrar är om jag måste välja samma partition för över- och undersumman? Jag har ett vagt minne av att jag läste följande olikhet för ett tag sedan:

$\displaystyle \sup_{A}L\left(f,A,\left[a,b\right]\right)\le\inf_{B}U\left(f,B,\left[a,b\right]\right)$

Alltså kan paritionerna variera. Så om man kan visa att:

$\displaystyle \sup_{A}L\left(f,A,\left[a,b\right]\right)=\inf_{B}U\left(f,B,\left[a,b\right]\right)$

över olika partitioner $A$ och $B$, har man visat integrerbarhet enligt "Riemannkriteriet" då?

Ja, partitionerna behöver inte vara samma på L och U. Du skriver ".. över olika partitioner...". Jag vill skärpa det till "över ALLA partitioner A och ALLA partitioner B..." Men som tur är så,  om du hittar EN partition A och EN partition B  sådana att sup L över A = inf U över B så har du visat villkoret i Riemann-definitionen. A och B behöver fortfarande inte vara lika. Det beror på att  L över A <= U över varje val av B.

Till din uppgift: Prova följande partition under förutsättningen att vi har strikta olikheter hela vägen efter "Suppose...". : A = B =mängden av a, (a, s)), (s, t)), (t, b) och mängden av b. (Som du märker förfogar jag inte över varken mängdsymboler eller klamrar så läs dubbelparentes )) som klammer). Det är fritt för dig att som partitioner använda enstaka punkter, öppna eller slutna eller halvöppna intervall så länge de är disjunkta och ändligt många. (I Lebesgue-integralen får du ha uppräkneligt oändligt många, så funktionerna kan bli rent sjövilda).

Okej. För översumman får man då:

$\displaystyle U\left(f,A,\left[a,b\right]\right)=\left(s-a\right)\sup_{[a,s]}f+\left(t-s\right)\sup_{[s,t]}f+\left(b-a\right)\sup_{[t,b]}f=0+t-s+0=t-s$

Och självklart spelar det ingen roll hur vi partitionerar delintervallet $[s,t]$ eftersom det ändå bara blir en stor rektangel i slutändan. Så uppenbarligen blir $\displaystyle\inf_{A}U\left(f\right) = t-s$.

Men för undersumman måste man nog vara lite listigare, för paritionen vi har valt här kommer inte att fungera. Ett förslag jag har på en partition är:

$\displaystyle B_n=\{ a,s-\frac{1}{n},s+\frac{1}{n},t-\frac{1}{n},t+\frac{1}{n},b \}$, för väldigt stora värden på $n$.

Då ser vi att:

$\displaystyle L\left(f,B_n, \left[a,b\right]\right) = t-s-\frac{4}{n}$ (om jag har räknat rätt).

Vi ser att då $n\to\infty$, kommer $L \to t-s$. Således måste $\sup_{B_n} L = t-s$. Således existerar integralen och:

$\displaystyle \int_{a}^{b}f=t-s$

Är detta okej och rätt?

Anledningen till att jag använder stängda intervall hela vägen är för att det står så i definitionen för partition och delintervall i boken. Men jag får lite blandade budskap.

Ditt sätt att skriva partitionen är otydlig för mig. I din mängdklammer betyder a, s-1/n ett intervall eller är det bara talen a, s-1/n ….. osv? Om det är ett intervall, så har det intervallet en minsta positiv längd. Den längden multiplicerar du sedan med n och då lär alltihop braka iväg mot oändl. 
Kan du motivera varför den partition jag föreslår inte funkar för undersumman?

Varje element är en ändpunkt i ett intervall. Så det första intervallet är $[a,s-1/n]$, det andra är $[s-1/n, s+1/n]$ och så vidare. Så den första termen i summan blir ju då t.ex. $\left(\left(s-1/n\right)-a\right)\sup_{[a,s-1/n]} f$

Kan du motivera varför den partition jag föreslår inte funkar för undersumman?

Den funkar säkerligen om man får tillåta sig använda öppna intervall. Men i definitionen för Darbouxsumman och Darbouxintegralen (vilket är det jag räknar med här, tydligen) räknar man alltid med stängda intervall, och då kommer $\inf f = 0$ för alla delintervall.

https://en.wikipedia.org/wiki/Darboux_integral

Din familj av delmängder saknar elementen s och t och täcker därför inte  hela intervallet ((a,b)). Inte heller unionen av dem innehåller s och t. Din familj är därför ingen partition av ((a,b)). Emellertid spelar detta ingen roll vare sig för integralens existens eller värde. Ty det är inte delintervallens slutenhet eller öppenhet utan dess Längd som avgör och ett slutet, ett öppet eller halvslutet intervall med samma ändpunkter har ju som bekant samma längd.

Jag har rotat runt lite för att få reda på varför man väljer just slutna intervall. Det enda väsentliga jag hittar är när man vill integrera kontinuerliga fkner, så vet man att f antar sitt största och minsta värde på ett intervall om det är slutet. Dessa Max- och minvärden vill man använda i definitionen så det kan vara en förklaring. Jag hävdar att detta inte är nödvändigt, eftersom vi tar sup av ALLA underfunktioner och får då med dessa min-värden (och motsvarande för inf av överfkner.)

Vad menar du med att mina delmängder inte innehåller $s$ och $t$? Jag har försökt konstruera delintervallen så att $s$ och $t$ inte är ändpunkter, men exempelvis punken $s$ ligger ju precis mellan $s-1/n$ och $s+1/n$, alltså i delintervallet $[s-1/n, s+1/n]$.

Då har jag tolkat ditt B_n fel. Är det bara en uppräkning av delningspunkter åtskilda med kommatecken?

Ja, exakt!