Hur ska man spela för att maximera sin överlevnadschans?
En väldigt uttråkad (och kanske psykiskt sjuk) gud bestämmer sig för att spela ett spel. Du blir därför kidnappad och vaknar upp på en anläggning där guden har samlat varenda sandkorn på jorden (ca. 7.5 sextillioner). Ett av sandkornen har en markering på sig. Med sig har han dessutom en 52-korts kortlek.
Spelet består av ett oändligt antal rundor, tills dess att du vinner eller dör. Guden ger dig följande instruktioner:
Varje runda får du antingen välja om du vill börja med att plocka upp ett sandkorn eller blanda kortleken.
Väljer du att börja med att plocka ett sandkorn och det saknar markering, måste ni båda nu blanda leken varsin gång. Blandar ni leken så att ni får samma permuation av korten dör du, annars går det över till nästa runda.
Väljer du att blanda leken först vinner du om ni blandar likadant. Blandar ni inte likadant plockar guden upp ett sandkorn och om det är markerat dör du, annars går det över till nästa runda.
Så här fortsätter spelet tills du antingen vinner eller dör. Hur ska man spela spelet optimalt för att maximera sina vinstchancer?
Mitt förslag
Jag misstänker att den optimala strategin är att bara välja att plocka upp ett sandkorn varje gång. Vid första anblick verkar det kanske konstigt, för 7.5 sextillioner sandkorn är rätt mycket större än 52 kort, men om man beräknar alla möjliga permuationer av korten (52!) och sedan dessutom sannolikheten att samma permuation uppträder TVÅ gånger verkar det rätt mycket mer sannolikt att vinna på sandkornet. Sannolikheten att plocka upp rätt sandkorn är:
Så om man bara väljer att plocka sandkorn varenda gång är sannolikheten att man plockar rätt korn ca. gånger större än att man blandar leken likadant.
Vad tänker ni?
Jag tänker på samma sätt som du.
Visa spoiler
Det blir ganska absurt då man inser hur många permutationer som man egentligen kan bilda med någonting så banalt som en kortlek, men räknar man på det får man att 52! kommer involvera multiplikation med 43 tal som är 10 eller mer (1*2*3*...*8*9*10*11*...*51*52), så 52!>1043, så oddsen att få ut en specifik ordning (den som din motståndare fått fram) är mindre än 1/1043 vilket är lägre än oddsen att hitta rätt sandkorn.
Jag är dock osäker på hur mycket som en sextillion är(jag får en sån där stavfelsunderstrykning då jag skriver ordet), så eventuellt skulle jag hävda att till en början är oddsen att få rätt ordning på korten högre, men eftersom att sandkornen kommer bli färre och färre så kommer det så småningom bli sandkornen som har högst sannolikhet.
Sedan kan man ju alltid ifrågasätta om guden varit ärlig och har förmågor utöver en vanlig människa, som till exempel att enkelt hitta ett eftertraktat sandkorn eller kortordning. I sådant fall vill det till att man är underhållande nog att hen inte vill ha ihjäl en, som Sheherazade insåg, men gör man det så är frågan i sig meningslös ur ett matematiskt perspektiv.
Vad händer om du väljer att ta ett sandkorn och det har en markering?
Du vinner.
Jag är lite fundersam på din uträkning för kortleken. Varför tar du i kvadrat? För det är väl inte exakt en specifik permutation som ni båda måste blanda? Utan endast samma? Då kan den ena personen blanda på vilket sätt som helst, sedan ska bara den andra personen blanda exakt likadant. Så sannolikheten för samma permutation är 1*1/52! så som jag ser det. Om det ändrar något i hur man spelar har jag inte övervägt
Jo, det är sant. Jag tänkte på samma sätt som när man beräknar t.ex. "vad är sannolikheten att vi båda slår en sexa", men här ska vi båda inte blanda fram en särskild permutation, utan de ska bara vara likadana. Så den där ^2 ska bort. Men jag tror svaret blir samma ändå.
En sextiljon är väl 1036.
