Hur ska man hantera att z_1 kan väljas godtyckligt?

Halloj!

Jag sitter med uppgiften nedan:

Jag började med att definiera två plan enligt:

$\displaystyle P_1=\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 :x+2y+z=0\}$

$\displaystyle P_2=\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 :3x-z=-2\}$

Sedan tänkte jag att jag behöver två punkter för att kunna bestämma linjens ekvation, en punkt för att hitta en vektor till linjen från origo och en vektor för att bestämma linjens riktningskoefficient. Vi söker alltså en punkt $(x_1,y_1,z_1)\in\mathbb{R}^3$ sådan att vi har:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll}x_1+2y_1+z_1=0&\3x_1-z_1=-2\end{array}\right.$

Vi kan eliminera variabeln $z_1$ och ser då att den kan väljas helt godtyckligt, och kommer fram till ekvationen:

$\displaystyle 2x_1+y_1 = -1$

Här tänkte jag att man helt enkelt kan välja två värden på $y_1$ fritt, och då få två motsvarande $x_1$-värden. Så vi väljer $y_1 = 0$ och $y_1 = -1$ och får då två punkter:

$\displaystyle Q_1 = (1/2, 0, z_1)$ och $Q_2 = (0, -1, z_1)$

Nu när vi har två punkter som ligger på linjen försöker jag ta fram linjen på vektorform:

$\displaystyle \vec{r}\left(t\right)=\vec{Q}_1+\vec{Q_1Q_2}t=\left(1/2,0,z_1\right)+\left(-1/2,-1,0\right) t$

Nu är jag dock lite konfunderad på hur man ska fortsätta. Hur ska man bestämma linjen om det finns oändligt många val av $z_1$?