Hur ska man göra när x^2 termen i en andragarads ekvation är negativ och man ska kvadrera den.

Multiplicera båda led med (-1)

Ops jag skulle säga fuktion så det är inget andra led.

Ska du kvadrera en funktion? Lägg upp vilket problem du har så blir det lättare att förstå vad du menar.

-x²+4x+3

Och du ska bara kvadrera det?

Rent allmänt kan du skriva $-x^2 = (-1)\cdot x^2$ och om du då kvadrerar detta får du $(-1)^2\cdot(x^2)^2= 1 \cdot x^4$.

Jag skulle använda kvadratkompletering så att man kan använda kvadreringsregeln baklänges.

Vänligen lägg upp hela uppgiften, med hela problemformuleringen ord för ord.

Vilken är grafens extrempunkt?

b) y= -x2+4x+3

Om du vill hitta extrempunkter för f(x) ska du hitta f'(x) och sedan lösa ekvationen f'(x)=0. Det kommer inte bli en andragradsekvation utan någonting enklare.

Bestäm extrempunkten för andragradsfunktionen $f(x)=-x^2+4x+3$.

Det finns flera olika sätt att lösa detta!

Alternativ 1: Kvadratkomplettera.

Precis som du är inne på är det där minustecknet framför kvadrattermen mycket lite besvärligt, men tricket är då att bryta ut (-1) ur hela funktionsuttrycket, och sedan kvadratkomplettera som vanligt. Vi får då

   $f(x)=-x^2+4x+3=(-1)\cdot (x^2-4x-3)=(-1)\cdot ((x-2)^2-7)\,.$

Eftersom $(x-2)^2-7$ antar sitt minimala värde -7 när $x=2$, så drar vi slutsatsen att $(-1)\cdot ((x-2)^2-7)$ antar sitt maximala värde +7 när $x=2$.

Om detta med minustecknet känns förvirrande så kan du prova att plotta både $y=-x^2+4x+3$ och $y=x^2-4x-3$ med ett grafritarprogram (t.ex. Geogebra eller Desmos).

Alternativ 2: Bestäm symmetrilinjen.

Som du kanske vet ligger extrempunkten för en andragradsfunktion $f(x)$ alltid på symmetrilinjen för parabeln $y=f(x)$, vilken i sin tur alltid ligger mitt emellan nollställena. 

Eftersom pq-formeln ger att

   $-x^2+4x+3=0\Longleftrightarrow x^2-4x-3=0\Longleftrightarrow x=2\pm \sqrt{4+3}\,,$

så drar vi slutsatsen att talet 2 ligger mitt emellan nollställena, så symmetrilinjen ges av $x=2$, och funktionen har alltså en extrempunkt vid $x=2$. Eftersom koefficienten framför kvadrattermen är negativ drar vi slutsatsen att detta är en maximipunkt. Funktionens värde i punkten blir

   $f(2)=-2^2+4\cdot2+3=7\,.$

Altrernativ 3: Derivera! Det är detta som Inabsurdum pratar om, och det är en väldigt kraftull teknik som man lär sig i Matematik 3, och som har den stora fördelen att den fungerar på alla tillräckligt släta funktioner - inte enbart andragradare.

Det går kortfattat ut på att man konstaterar funktionsvärdet varken kan vara på väg uppåt eller nedåt i en extrempunkt, det vill säga "den lokala lutningen" (aka derivatan eller $f^\prime(x)$) är 0 i extrempunkterna. Det är ofta förvånadsvärt enkelt att räkan ut hur den här "lokala lutningen" beror på $x$ (i det här fallet blir exempelvis $f^\prime(x)=-2x+4$), vilket gör det möjligt att leta extrempunkter genom att helt enkelt lösa ekvationen $f^\prime(x)=0$.

Nu när du håller på med Matematik 2 är detta överkurs, men om du går vidare och läser Matematik 3 så kommer du lära dig mycket mer om den här tekniken - och då kommer du exempelvis lätt kunna se att fjärdegradaren $f(x)=x^4-8x^3 +22x^2 -24 x$ har sina minimipunkter vid $x=1$ och $x=3$.

Alternativ 4: Fråga WolframAlpha, genom att skriva så här:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=extreme+points+of+-x%5E2%2B4x%2B3

Detta går kanske inte att göra i en provsituation, men när du sitter och pluggar själv är det ett snabbt och smidigt sätt att dubbelkolla dina svar.

Inabsurdum skrev:

Om du vill hitta extrempunkter för f(x) ska du hitta f'(x) och sedan lösa ekvationen f'(x)=0. Det kommer inte bli en andragradsekvation utan någonting enklare.

Jättebra metod, om man har läst sig derivata, vilket man gör i Ma3, men den här tråden ligger i Ma2.