Hur ska man förenkla nämnaren

uppgiften är: Bestäm konstanterna a och b så att uttrycket $\frac{x^{2} + a}{x^{3} - 3 b x^{2} + b^{2} x - 1}$ kan förenklas med x-1

Det första jag gjorde var att bestämma a så att x^2+a = x^2-1, då detta kan skrivas om till (x+1)(x-1). A är då -1.

Nämnaren är dock svårare. Försökte med lutande stollen en bra stund innan jag märkte att uttrycket kan skrivas som (x^2+x-1)(x-1) om b=0. Vet dock inte hur jag skulle kunna lösa det rent matematiskt.

Vi kan sätta att uttrycket i nämnaren är lika med $f(x)$ . Om $f(1)=0$ har funktionen ett nollställe där, och kan då skrivas som $(x - 1) \cdot (något uttryck)$ .

Sätt in $x=1$ i uttrycket i nämnaren, och förenkla. Vad får du? :)

Smutstvätt skrev:
Vi kan sätta att uttrycket i nämnaren är lika med $f(x)$ . Om $f(1)=0$ har funktionen ett nollställe där, och kan då skrivas som $(x - 1) \cdot (något uttryck)$ .

Sätt in $x=1$ i uttrycket i nämnaren, och förenkla. Vad får du? :)

så jag ska sätta b(b-3) = 0

Det finns olika sätt. Ett är att utgå från "kuberingsregeln" (heter det så? Motsvarigheten till kvadreringsregeln men med exponenten 3) som ger:

$(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

Man kan notera att nämnaren i ditt uttryck är likt det här högerledet, och om de vore helt lika så är nämnaren alltså $(x-1)^3$ och därmed delbart med x-1. Så vad krävs för att de ska vara lika? Vi jämför koefficienterna och får $-3b = -3$ för kvadrattermerna och $b^2 = 3$ för förstagradstermerna. Hitta b som uppfyller båda.

(Smutstvätts metod är enklare och troligen den avsedda =)

EDIT: Nej, det här funkar ju inte ens :D det finns inga b som uppfyller båda ekvationer... Använd den andra metoden, den är både enklare och mer generell. Jag tyckte det såg ut som att jag kunde använda ett specialknep, men det fick jag visst inte.

ItzErre skrev:
Smutstvätt skrev:
Vi kan sätta att uttrycket i nämnaren är lika med $f(x)$ . Om $f(1)=0$ har funktionen ett nollställe där, och kan då skrivas som $(x - 1) \cdot (något uttryck)$ .

Sätt in $x=1$ i uttrycket i nämnaren, och förenkla. Vad får du? :)

så jag ska sätta b(b-3) = 0

Ja, det kommer att bli så när du har satt in $x=1$ och förenklat. Helt rätt! :)

Svara

Visa senaste svar