Hur ska jag tolka linjen som anges i uppgiften? (Matematik/Matte 2/Linjära ekvationssystem)

Ja, det är räta linjens ekvation som spökar. I engelsktalande länder skrivs den ofta som $y=mx+b$ . Du ska alltså hitta ett k-värde, dvs. linjens lutning, m = 0. :)

Jag sitter och stirrar på uppgiften i flera minuter utan att få fram en lösning. Jag vet att en punkt för linjen som vi söker är (0;0) och vi har då att: y = kx + 0 som skrivs om till: y= kx.

För att finna k-värdet så försöker jag att förstå uppgiften så gått som det går och det som sägs är k-värdet som eftersöks delar den geometriska figuren i två precis lika stora delar. Utifrån det försöker jag förstå vad som är bas respektive höjd i figuren. Jag tolkar det som att den längsta sidan är min bas, alltså 8 l.e. och min höjd är 3 l.e. vilket ger mig arean 24 l.e.^2. Ifall linjen ska skära på ett sätt som delar figuren i två lika stora arealer så blir en figur efter skärning: 12 l.e.^2. Jag vet inte om det är helt fel väg men ifall det funkar att tänka så också så hoppas jag på lite hjälp. Jag känner att det har stannat upp... :(

Det är bra att vänja sig vid olika sätt att representera linjära samband så att vare sig $k$ eller $m$ får en fixerad betydelse.

Den generella formen för en rät linje i ett xy-koordinatsystem är $ax+by=c$ , där $a$ , $b$ och $c$ är reella konstanter.

Om $a=0$ (och $b\neq0$ ) så är linjen horisontell, dvs parallell med $x$ -axeln.
Om $b=0$ (och $a\neq0$ ) så är linjen vertikal, dvs parallell med $y$ -axeln.
Om $c=0$ (och varken $a$ eller $b$ är lika med $0$ ) så uttrycker linjen en proportionalitet, dvs den går genom origo.

Börja med att beräkna arean av fyrhörningen. Den önskade linjen skall dela denna area i två lika stora halvor. Beräkna sedan arean av den lilla triangeln mellan fyrhörningen och positiva x-axeln. Denna area plus hälften av fyrhörningens area är lika stor som arean under den sökta räta linjen (alltså en triangel där hörnen är (0,0), (3,0) respektive (3,3m)).

Arean av den lilla triangeln mellan fyrhörningen och den positiva x-axeln är 1,5 a.e. Halva arean av fyrhörningen är 12 a.e. Enligt dig Smaragdalena så tar jag dessa två areor adderat med varandra. Alltså: 12 + 1,5 = 13,5 a.e.

Efter att jag utfört det så förstod jag inte vilken triangel du menar. Du nämnde att ett hörn har (3,3m)), vart ligger den? 🤔

Fyrhörningen med hörnen i (0,0), (0,4), (3,1) och (3,8) har inte arean 24 ae. Halva fyrhörningen har alltså inte arean 12 ae.

Den sökta linjen skall ha ekvationen y=mx. Om du stoppar in att x=3 får du fram att y=3x. Därför är detta det tredje hörnet i triangeln som bildas av den sökta linjen, positiva x-axeln och linjen x=3.

Nä, jag känner att jag inte hänger med riktigt Smaragdalena! 🤦‍♀️🤦‍♀️

Natascha skrev:
Nä, jag känner att jag inte hänger med riktigt Smaragdalena! 🤦‍♀️🤦‍♀️

Börja med att beräkna fyrhörningens area $A_1$ .

Det gör du enkelt genom stt summera arean av den röda triangeln, den gröna kvadraten och den lila triangeln:

Sätt sedan upp ett uttryck för arean av den blåa triangeln $A_2$ . Denna area beror på värdet av $m$ :

Eftersom fyrhörningens area ska vara dubbelt så stor som den blå triangelns area så blir din ekvation sedan $A_1=2A_2$ .

Lös den ekvationen så får du ditt värde på $m$ .

Tack för att du beskrev det så tydligt Yngve. Jag blir däremot alldeles förbryllad kring en sak... Den blå triangeln har ett hörn som har koordinaterna (3,3m). Jag förstår att första 3:an är x-värdet och 3m?? Hur blir det 3m? 🤦‍♀️ Jag ser det verkligen inte..

Natascha skrev:
Tack för att du beskrev det så tydligt Yngve. Jag blir däremot alldeles förbryllad kring en sak... Den blå triangeln har ett hörn som har koordinaterna (3,3m). Jag förstår att första 3:an är x-värdet och 3m?? Hur blir det 3m? 🤦‍♀️ Jag ser det verkligen inte..

Säg vilket/vilka av dessa påståenden som du inte hänger med på:

Linjen som delar fyrhörningen i två lika stora delar har ekvationen y = m•x.
Det betyder att den punkt på linjen som har x-koordinaten 3 har y-koordinaten y = m•3.
Det hörn vi är intresserade av har x-koordinaten 3 och alltså y-koordinaten m•3 = 3m, dvs hörnet har koordinaterna (3, 3m)

1:a är jag fullt med på. Däremot andra och tredje påståendena har jag svårt att få ett bra grepp om... Jag ser bara punkten (3,3m) i den blå triangeln som att x-koordinaten är 3 och y-koordinaten är 3 multiplicerat med ett okänt värde på linjens lutning. Det jag nog inte förstår är hur vet du att just punkten (3,3m) hamnar just där du har markerat den Yngve? Jag ser ingen förklaring till varför den hamnade just där? 🤔🤔🤔

Är du med på att den sökta triangeln har sina hörn i origo, i (3,1) och i skärningslinjen mellan linjen x=3 och linjen y=mx?

Natascha skrev:
1:a är jag fullt med på. Däremot andra och tredje påståendena har jag svårt att få ett bra grepp om... Jag ser bara punkten (3,3m) i den blå triangeln som att x-koordinaten är 3 och y-koordinaten är 3 multiplicerat med ett okänt värde på linjens lutning. Det jag nog inte förstår är hur vet du att just punkten (3,3m) hamnar just där du har markerat den Yngve? Jag ser ingen förklaring till varför den hamnade just där? 🤔🤔🤔

2. följer direkt av 1., så här:

y = mx, säger 1.

x = 3, säger 2. Eftersom 1. säger att y = mx, så är y =m*3 = 3m.

m är fortfarande okänt i det här läget, men är du med på att 2. följer av 1.?

Smaragdalena skrev:
Är du med på att den sökta triangeln har sina hörn i origo, i (3,1) och i skärningslinjen mellan linjen x=3 och linjen y=mx?

Ja, det är jag med på Smaragdalena!

Natascha skrev:
Smaragdalena skrev:
Är du med på att den sökta triangeln har sina hörn i origo, i (3,1) och i skärningslinjen mellan linjen x=3 och linjen y=mx?
Ja, det är jag med på Smaragdalena!

Vilka koordinater har skärningspunkten?

Natascha skrev:
Smaragdalena skrev:
Är du med på att den sökta triangeln har sina hörn i origo, i (3,1) och i skärningslinjen mellan linjen x=3 och linjen y=mx?
Ja, det är jag med på Smaragdalena!

Linjen har ekvationen y = m•x. Det betyder att alla punkter (x, y) på linjen uppfyller sambandet y = m•x. Om vi tar en punkt på linjen som har x-värdet 3 så får då denna punkt y värdet y = m•3 = 3m.

Punkten som har x-värdet x = 3 och y-värdet y = 3m har alltså koordinaterna (x, y) = (3, 3m).

Natascha skrev:
...
Det jag nog inte förstår är hur vet du att just punkten (3,3m) hamnar just där du har markerat den Yngve? Jag ser ingen förklaring till varför den hamnade just där? 🤔🤔🤔

Aha, nu tror jag att jag förstår varför du blev förvirrad.

Nej, jag vet inte att punkten hamnar just där jag har ritat den. Jag vet inte var den hamnar innan jag har räknat ut vad m har för värde.

Men det hindrar mig inte att rita ut en ungefärlig position, så länge jag endast använder figuren som ett tankestöd, i detta fallet för att se att det skapas en (blå) triangel med de angivna hörnen. Jag använder alltså inte figuren för att göra mätningar och på det sättet bestämma värdet på m.

För att det hela ska gå ihop så måste linjen y = mx skära fyrhörningens högra sida någonstans mellan punkterna (3, 1) och (3, 8). Vi ser då att oavsett var linjen skär sidan så bildas det en triangel, vars area $A_2$ vi enkelt kan sätta upp ett uttryck för enligt tidigare ledtrådar.

Smaragdalena skrev:
Natascha skrev:
Smaragdalena skrev:
Är du med på att den sökta triangeln har sina hörn i origo, i (3,1) och i skärningslinjen mellan linjen x=3 och linjen y=mx?
Ja, det är jag med på Smaragdalena!
Vilka koordinater har skärningspunkten?

Det är den blåa triangelns övre hörn där skärningspunkten hittas, nämligen (3,3m)

Yngve skrev:
Natascha skrev:
...
Det jag nog inte förstår är hur vet du att just punkten (3,3m) hamnar just där du har markerat den Yngve? Jag ser ingen förklaring till varför den hamnade just där? 🤔🤔🤔
Aha, nu tror jag att jag förstår varför du blev förvirrad.
Nej, jag vet inte att punkten hamnar just där jag har ritat den. Jag vet inte var den hamnar innan jag har räknat ut vad m har för värde.
Men det hindrar mig inte att rita ut en ungefärlig position, så länge jag endast använder figuren som ett tankestöd, i detta fallet för att se att det skapas en (blå) triangel med de angivna hörnen. Jag använder alltså inte figuren för att göra mätningar och på det sättet bestämma värdet på m.
För att det hela ska gå ihop så måste linjen y = mx skära fyrhörningens högra sida någonstans mellan punkterna (3, 1) och (3, 8). Vi ser då att oavsett var linjen skär sidan så bildas det en triangel, vars area $A_2$ vi enkelt kan sätta upp ett uttryck för enligt tidigare ledtrådar.

Ahaaaaa!! Nu förstår jag också! 🙈🙈 Jag blev så förvirrad för att jag förstod inte varför punkten (3,3m) just hamnade där.

Natascha skrev:

Ahaaaaa!! Nu förstår jag också! 🙈🙈 Jag blev så förvirrad för att jag förstod inte varför punkten (3,3m) just hamnade där.

OK vad bra. Jag förutsatte nog att du var van vid detta sätt att rita ungefärliga figurer som tankestöd. Fel av mig där.

Men känner du då att du hänger med på tankegångarna och att du själv kommer fram till rätt svar?

Jo jag brukar också alla gånger då det behövs rita upp en bild av den information som framkommer i text. Det underlättar väldigt mycket. Jag visste bara inte om den punkten som du markerat för (3,3m) var en fast punkt som m-värdet ska gå igenom eller om det bara var en ungefärlig punkt. 😊😊😊

Från tidigare inlägg här så nämnde nu Yngve att för m gäller Area1 = 2(Area2)

Area1 ges av hela geometriska figuren som blir 12 a.e. och Area2 ges av den blå triangeln som blir 6 a.e. Stämmer det Yngve?

Natascha skrev:
Jo jag brukar också alla gånger då det behövs rita upp en bild av den information som framkommer i text. Det underlättar väldigt mycket. Jag visste bara inte om den punkten som du markerat för (3,3m) var en fast punkt som m-värdet ska gå igenom eller om det bara var en ungefärlig punkt. 😊😊😊
Från tidigare inlägg här så nämnde nu Yngve att för m gäller Area1 = 2(Area2)
Area1 ges av hela geometriska figuren som blir 12 a.e. och Area2 ges av den blå triangeln som blir 6 a.e. Stämmer det Yngve?

Att $A_1=2A_2$ stämmer.

Men det stämmer inte att $A_1=12$ a.e.

Fyrhörningen består av två trianglar (röd och lila) och en kvadrat (grön).

Beräkna arean av var och en av dessa och summera dem.

Visa dina uträkningar om du får fram någon annan area än den rätta (som är 16,5 a.e.)