Hur ska jag ta mig vidare? Undersök hur antalet rötter till ekvationen varierar med talet a.

Hej, min uppgift är att

Undersöka hur antalet rötter till ekvationen $2 x^{3} - 3 x^{2} + 1 + a = 0$ varierar med talet a.

Jag har börjat med att hitta extremvärdernas x-koordninat vilket jag fick till x1=0 och x2=1 och fått mha andra derivatan att då x=1 har vi en lokal minimipunkt och då x=0 har vi en lokal maximipunkt. Och här tar det stopp.

Jag vet inte hur jag ska ta mig vidare nu.

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Rita upp kurvan (utan a)

Neeeeeej, rita upp är så noobigt. Här gäller att vara analytisk! Här är tredjegradspolynomets diskriminant: https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function#The_discriminant

En liten kommentar också: du kan alltid vara säker på att det är minst en pga satsen om mellanliggande värden och det faktum att funktionen är kontinuerlig för alla x

Med grafisk metod är det lätt att lösa uppgiften, men jag tänkte mer algebraiskt.

Qetsiyah: Tyvärr får man inte tillgång till sånt på provet och det är väldigt många siffror och bokstäver att memorisa in ang tredjegradspolynomets diskriminant.

Qetsiyah skrev:
Neeeeeej, rita upp är så noobigt. Här gäller att vara analytisk! Här är tredjegradspolynomets diskriminant: https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_function#The_discriminant
En liten kommentar också: du kan alltid vara säker på att det är minst en pga satsen om mellanliggande värden och det faktum att funktionen är kontinuerlig för alla x

(min kursivering)

Det här var det dummaste jag har läst på länge! Om man ritar ser man att det finns ett maximum och ett minimum. Om y-värdena för både maximum och minimum har samma tecken, så finns det bara ett reellt nollställe till funktionen, om de har olika tecken finns det två (och så får man tänka lite extra om något av extremvärdena är 0). Detta borde inte vara alltför svårt att "översätta" till olika värden på a.

Hej!

Jag föreslår att du gör såhär:

Med hjälp av din extremvärdesundersökning ritar du grafen till funktionen $f(x) = 2x^3-3x^2$ där $x\in \mathbb{R}$ .
Du vill finna antalet lösningar till ekvationen $f(x) = b$ ; här har du infört beteckningen $b = -(1+a)$ .
Rita horisontella linjer $y=b$ tillsammans med grafen till $y=f(x)$ .

Du finner att om $b<>$ finns en enda lösning till $f(x) = b$ .
Om $b=-1$ finns två olika lösningar till $f(x) = b.$
Om $-1 < b=""><>$ finns tre olika lösningar till $f(x) = b.$
Om $b=0$ finns två olika lösningar till $f(x) = b.$
Om $b>0$ finns en enda lösning till $f(x) = b.$

Svara

Visa senaste svar