Hur ska jag ta mig vidare?

Jag sitter här med ett uppgift på induktion men jag vet inte riktigt hur jag ska ta mig vidare:

"Visa med hjälp av induktion att $2^{n} \geq n^{2}, {n \in ℤ^{+}, n \geq 4}$ "

Jag har börjat med att testa basfallet $n = 4$ :

$V L = 2^{4} = 16 H L = 4^{2} = 16 ∴ V L \geq H L$

Nu gör jag mitt induktionsantagande:

Antag sant för $n = k$

$\Rightarrow 2^{k} \geq k^{2}, {k \in ℤ^{+}, k \geq 4}$

Nu gäller det att med hjälp av induktionsantagandet visa att det även stämmer för $n = k + 1$ . Jag tänkte att man skulle kunna manipulera en av termerna för att få den att se ut som det vi vill. Jag började då med HL:

$2^{k} + 2 k + 1 \geq {(k + 1)}^{2}$

Härifrån kan jag dock inte komma någonstans. Jag testade att manipulera VL också istället och få det till $2^{k + 1} \geq 2 k^{2}$ , men inte heller härifrån vet jag hur jag ska ta mig vidare.

En liten knuff i rätt riktning skulle uppskattas!

Man kanske kan använda att k² > 2k+1 för k > 2.

Man måste förstås bevisa det också.

Denna är svår tycker jag (som håller på med samma matte), men börja med att 2^k+1 = 2^k・2 och börja sedan använda dig av induktionsantagandet.

Kanske...:

$2^{k + 1} = 2^{k} \times 2 = 2^{k} + 2^{k} > k^{2} + k^{2} = k^{2} + k \times k > k^{2} + 4 k$

I sista steget ovan låtes k=4 eftersom beviset ska gälla för alla k≥4.

Kommer vi vidare härifrån?

Alla tre inlägg är på rätt spår, men man är i princip i mål om man använder Lagunas observation.

Laguna skrev:
Man kanske kan använda att k² > 2k+1 för k > 2.

Man måste förstås bevisa det också.

Hur ska man använda det här? Det var faktiskt en ledtråd i facit. Men jag förstår inte hur man ska använda det. Att bevisa det är inget problem, dock.

Eftersom $k \geq 4$

$k^2 \geq 4k > 2k+1$

Tillägg: 18 maj 2023 21:54

Om du fortfarande inte ser det

$2^{k+1}=2 \cdot 2^k$

Med IA:

$2 \cdot 2^k \geq 2k^2$

Detta ger nu:

$2k^2 \geq (k+1)^2$

Kommer du vidare?

Ah, eftersom $2^{k + 1} \geq 2 k^{2} \geq {(k + 1)}^{2}$ , måste $2^{k + 1} \geq {(k + 1)}^{2}$ .

Ja, men det blir enklare om du jobbar med $2k^2$ , så du efter expansion av HL, och olikheter ovan kan visa direkt att påståendet stämmer för alla heltal $n\geq 4$ . :)

Svara

Visa senaste svar